Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.

В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.

Пример.

Построить сечение плоскостью (MNP)

Треугольник MNP — сечение пирамиды

Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.

Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.

Треугольник MNP — искомое сечение.

Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.

Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.

Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.

Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.

Треугольник BKL — искомое сечение.

Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.

Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.

Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.

Продолжим прямую NP.

Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.

Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.

Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.

Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).

Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.

Получим след MT.

T — точка пересечения прямых MH и AC.

Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).

4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.

Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.

Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.

Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.

Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), которой принадлежит прямая AS.

Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.

Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.

Таким образом, получили все то же сечение MNPT.

Рассмотрим еще один пример такого рода.

Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).

Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).

Через точки M и P прямую провести не можем.

1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.

Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.

F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.

2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.

Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).

Преподаватель математики Щелковского филиала ГБПОУ МО "Красногорский колледж" Артемьев Василий Ильич.

Изучение темы «Решение задач на построение сечений» начинается в 10 классе или на первом курсе учреждений НПО. В случае, если кабинет математики оснащен средствами мультимедиа, то решение проблемы изучения облегчается с помощью различных программ. Одной из таких программ является программное обеспечение динамической математики GeoGebra 4.0.12. Она подходит для изучения и обучения на любом из этапов образования, облегчает создание математических построений и моделей обучающимися, которые позволяют проводить интерактивные исследования при перемещении объектов и изменение параметров.

Рассмотрим применение этого программного продукта на конкретном примере.

Задача. Построить сечение пирамиды плоскостью PQR, если точка P лежит на прямой SA, точка Q лежит на прямой SB, точка R лежит на прямой SC.

Решение. Рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть точка P принадлежит ребру SA.

1. Отметим с помощью инструмента «Точка» произвольные точки A, B, C, D. Щелкнем правой клавишей на точку D, выберем «Переименовать». Переименуем D на S и установим положение этой точки, как показано на рисунке 1.

2. С помощью инструмента «Отрезок по двум точкам» построим отрезки SA, SB, SC, AB, AC, BC.

3. Щелкнем правой клавишей мыши по отрезку AB и выбираем «Свойства» - «Стиль». Устанавливаем пунктирную линию.

4. Отметим на отрезках SA, SB, CS точки P, Q, R.

5. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую PQ.

6. Рассмотрим прямую PQ и точку R. Вопрос учащимся: Сколько плоскостей проходит через прямую PQ и точку R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна).

7. Строим прямые PR и QR.

8. Выбираем инструмент «Многоугольник» и по очереди щелкнем по точкам PQRP.

9. Инструментом « Перемещать» меняем положение точек и наблюдаем за изменениями сечения.

Рисунок 1.

10. Щелкнем по многоугольнику правой клавишей и выбираем «Свойства» - «Цвет». Заливаем многоугольник каким-нибудь нежным цветом.

11. На панели объектов щелкнем по маркерам и скроем прямые.

12. В качестве дополнительного задания можно измерить площадь сечения.

Для этого выберем инструмент «Площадь» и щелкнем левой клавишей мыши по многоугольнику.

Случай 2. Точка P лежит на прямой SA. Для рассмотрения решения задачи для этого случая можно пользоваться чертежом прежней задачи. Скроем лишь многоугольник и точку Р.

1. Инструментом «Прямая по двум точкам» построим прямую SA.

2. Отметим на прямой SA точку P1, как показано на рисунке 2.

3. Проведем прямую P1Q.

4. Выбираем инструмент «Пересечение двух объектов» , и щелкнем левой клавишей мыши по прямым АВ и P1Q. Найдем точку их пересечения К.

5. Проведем прямую P1R. Найдем точку пересечения М этой прямой с прямой АС.

Вопрос учащимся: сколько плоскостей можно провести через прямые P1Q и P1R? Ответ обоснуйте. (Ответ. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна).

6. Проведем прямые КМ и QR. Вопрос учащимся. Каким плоскостям одновременно принадлежат точки К, М? Пересечением каких плоскостей является прямая КМ?

7. Построим многоугольник QRKMQ. Зальем нежным цветом и скроем вспомогательные прямые.

Рисунок 2.

С помощью инструмента «Перемещение» двигаем точку вдоль прямой AS.Рассматриваем различные положения плоскости сечения.

Задания для построения сечений:

1. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА1 и СС1. Сколько плоскостей проходит через параллельные прямые?

2. Построить сечение проходящее через пересекающиеся прямые. Сколько плоскостей проходит через пересекающиеся прямые?

3. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей:

а) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС.

б) Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и середину ребра В1С1.

в) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основаниям пирамиды.

4. Построение сечений методом следов:

а) Дана пирамида SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

5) Проведем прямую QF и найдем точку Н пересечения с ребром SB.

6) Проведем прямые HR и PG.

7) Выделим инструментом «Многоугольник» полученное сечение и изменим цвет заливки.

б) Самостоятельно постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, K и M. Список источников.

1. Электронный ресурс http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. Электронный ресурс http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибирского института GeoGebra)

3. Электронный ресурс http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. Электронный ресурс. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. Электронный ресурс http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(Форум GeoGebra для учителей и школьников).

6. Электронный ресурс www.geogebratube.org (Интерактивные материалы по работе с программой)

Аксиомы планиметрии:

В различных учебниках свойства прямых и плоскостей могут быть представлены по-разному, в виде аксиомы, следствия из нее, теоремы, леммы и т.д. Рассмотрим учебник Погорелова А.В.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 0 , и только один.

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии:

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 0 . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 0 , и только один.

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Сечение

В пространстве две фигуры, для нашего случая плоскость и многогранник могут иметь следующее взаимное расположение: не пересекаются, пересекаются в точке, пересекаются по прямой и плоскость пересекает многогранник по его внутренности (рис.1), и при этом образуют следующие фигуры:

а) пустая фигура (не пересекаются)

б) точка

в) отрезок

г) многоугольник

Если в пересечении многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник называется сечением многогранника с плоскостью .

рис.1

Определение. Сечением пространственного тела (например, многогранника) называется фигура, получающаяся в пересечении тела с плоскостью.

Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом, пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок.

Если плоскости пересекаются по прямой, то прямую называют следом одной из этих плоскостей на другой.

В общем случае секущая плоскость многогранника пересекает плоскость каждой его грани (а также любую другую секущую плоскость этого многогранника). Она пересекает и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника.

Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое – либо ребро многогранника, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Эта точка является и следом прямой на секущей плоскости. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно говорить о следе секущей плоскости на грани, и, аналогично, о следе секущей плоскости на ребре многогранника, то есть о следе ребра на секущей плоскости.

Так как прямая однозначно определяется двумя точками, то для нахождения следа секущей плоскости на любой другой плоскости и, в частности, на плоскости любой грани многогранника, достаточно построить две общие точки плоскостей

Для построения следа секущей плоскости, а также для построения сечения многогранника этой плоскостью, должен быть задан не только многогранник, но и секущая плоскость. А построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Основными способами задания плоскости, и в частности секущей плоскости, являются следующие:

тремя точками не лежащих на одной прямой;

прямой и не лежащей на ней точкой;

двумя параллельными прямыми;

двумя пересекающимися прямыми;

точкой и двумя скрещивающимися прямыми;

Возможны и другие способы задания секущей плоскости.

Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Методы построения сечений многогранников

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

Аксиоматический метод:

Метод следов.

Комбинированный метод.

Координатный метод.

Заметим , что метод следов и метод вспомогательных сечений являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно, другой заданной прямой;

построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Основными действиями, составляющие методы построения сечений, являются нахождение точки пересечения прямой с плоскостью, построения линии пересечения двух плоскостей, построение прямой параллельной плоскости, перпендикулярной плоскости. Для построения прямой пересечения двух плоскостей обычно находят две ее точки и проводят через них прямую. Для построения точки пересечения прямой и плоскости находят в плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая точка получается в пересечении найденной прямой с данной.

Рассмотрим отдельно перечисленные нами методы построения сечений многогранников:

Метод следов.

Метод следов основывается (операеться) на аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют основным следом секущей плоскости . Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения.

Отметим, что при построении основного следа секущей плоскости используется следующее утверждение.

Если точки принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекция (центральными или параллельными) на плоскость, выбранную в качестве основной, являются соответственно точки то точки пересечения соответственных прямых, то есть точки и лежат на одной прямой (рис.1, а, б).

рис.1.а рис.1.б

Эта прямая является основным следом секущей плоскости. Так как точки лежат на основном следе, то для его построения достаточно найти две точки из этих трех.

Метод вспомогательных сечений.

Этот метод построения сечений многогранников является в достаточной мере универсальным. В тех случаях, когда нужный след (или следы) секущей плоскости оказывается за пределами чертежа, этот метод имеет даже определенные преимущества. Вместе с тем следует иметь ввиду, что построения, выполняемые при использовании этого метода, зачастую получаются “скученными”. Тем не менее, в некоторых случаях метод вспомогательных сечений оказывается наиболее рациональным.

Комбинированный метод

Суть комбинированного метода построения сечений многогранников состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом.

Координатный метод построения сечений.

Суть координатного метода заключается в вычислении координат точек пересечения ребер или многогранника с секущей плоскостью, которая задается уравнением плоскости. Уравнение плоскости сечения вычисляется на основе условий задачи.

Заметим , что это способ построения сечения многогранника приемлем для компьютера, так как он связан с большим объемом вычислений и поэтому этот метод целесообразно реализовать с помощью ЭВМ.

Наша основная задача будет состоять в построении сечения многогранника с плоскостью, т.е. в построении пересечения этих двух множеств.

Построение сечений многогранников

Прежде всего заметим, что сечение выпуклого многогранника есть выпуклый плоский многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны с его гранями.

Примеры построения сечений:

Способы задания сечения весьма разнообразны. Наиболее распространенным из них является способ задания секущей плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Пример 1. Для параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Построить сечение проходящее через точки M, N, L.

Решение:

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA 1 D 1 D.

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A 1 D 1 1 D 1 D. Получим точку X 1 .

Точка X1 лежит на ребре A 1 D 1 , а значит и плоскости A 1 B 1 C 1 D 1 , соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X 1 N пересекается с ребром A 1 B 1 в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA 1 B 1 B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD 1 C 1 C:

Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD 1 , они лежат в одной плоскости AA 1 D 1 D, получим точку X 2 .

Пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D 1 C 1 , они лежат в одной плоскости A 1 B 1 C 1 D 1 , получим точку X3;

Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD 1 C 1 C. Проведем прямую X 2 X 3 , которая пересечет ребро C 1 C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника, что и мы сделали. MKNTPL - искомое сечение.

Заметим. Эту же самую задачу на построение сечения, можно решить воспользуевавшийся свойством параллельных плоскостей.

Из выше сказанного можно составить алгоритм (правило) решения задач, данного типа.

Правила построения сечений многогранников:

Пример 2. D L , M

Решим аксиоматическим методом:

Проведем вспомогательную плоскость DKM , которая пересекает ребра АВ и ВС в точках Е и F (ход решение на рис 2.). Построим «след» КМ плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости, найдем точку пересечения КМ и Е F – точку Р. Точка Р, как и L , лежит в плоскости АВС, и можно провести прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость АВС(«след» сечения в плоскости АВС).

Пример 3. На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение проведем комбинированным методом:

1). Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

2). Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.

3). Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.

4). Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллена BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.

5). Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD"RB" - искомое сечение

Рассмотрим сечения призмы для простоты, то есть удобства логических размышлений рассмотрим сечения куба (рис.3.а):

Рис. 3.а

Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, является параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения (рис. 4).

Опр. Диагональным сечением призмы называется сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Многоугольник, получающийся при диагональном сечении призмы, является параллелограммом. Вопрос о числе диагональных сечений n -угольной призмы труднее, чем вопрос о числе диагоналей. Сечений будет столько же сколько диагоналей у основания. Мы знаем, что у выпуклой призмы в основаниях – выпуклые многоугольники, а у выпуклого n -угольника диагоналей. И так можно говорить, что диагональных сечений вдвое меньше, чем диагоналей.

Заметим: При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким – то отрезкам, то эти отрезки параллельны «по свойству параллелепипеда т.е. противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.»

Дадим ответы на часто возникающие вопросы:

Какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью?

«треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник ».

Может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник?

«не могут».

3)Возникает вопрос чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?

Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника .

Пример 3. Построить сечение призмы A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD плоскостью, проходящей через три точки M, N, K.

Рассмотрим случай расположения точек M, N, K на поверхности призмы (рис. 5).

Рассмотрим случай: В данном случае очевидно, что M1 = B1.

Построение:

Пример 4. Построить сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.6)).

Решение:

Рис. 6

Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА 1 в некоторой точке Х.

Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА 1 D 1 D, соединим их и получим прямую XN.

Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A 1 B 1 C 1 D 1 , параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В 1 С 1 в точке Y.

Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды.

Пример 4. Построить сечение пирамиды АВС D плоскостью, проходящей через точки К, L , M .

Решение:

Этот же пример решим по другому .

Допустим что по точкам К, L , и М построено сечение KLNM (рис. 7). Обозначим через F точку пересечения диагоналей четырехугольника KLNM . Проведем прямую DF и обозначим через F 1 ее точку пересечения с гранью АВС. Точка F 1 совпадает с точкой пересечения прямых АМ и СК (F 1 одновременно принадлежит плоскостям АМ D и D СК). Точку F 1 легко построить. Далее строим точку F как точку пересечения DF 1 и LM . Далее находим точку N .

Рассмотренный прием называют методом внутреннего проектирования . (Для нашего случая речь идет о центральном проектировании. Четырехугольник K МСА есть проекция четырехугольника KMNL из точки D . При этом точка пересечения диагоналей KMNL – точка F – переходит в точку пересечения диагоналей четырехугольника K МСА – точку F 1 .

Площадь сечения многогранника.

Задача на вычисление площади сечения многогранника обычно решается в несколько этапов. Если в задаче говориться, что сечение построено (или что секущая плоскость проведена и т.п.), то на первом этапе решения выясняют вид фигуры полученной в сечении.

Это необходимо сделать, чтобы выбрать соответствующую формулу для вычисления площади сечения. После того как вид фигуры, полученной в сечении, выяснен и выбрана формула для подсчета площади этой фигуры, переходят непосредственно к вычислительной работе.

В некоторых случаях может оказаться проще, если, не выясняя вида фигуры, полученной в сечении, перейти сразу к вычислениям ее площади по формуле, которая следует из теоремы.

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника: площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: .

Справедлива формула для вычисления площади сечения: где это площадь ортогональной проекции фигуры, полученной в сечении, аэто угол между секущей плоскостью и плоскостью, на которую фигура спроектирована. При таком ходе решения необходимо построить ортогональную проекцию фигуры, полученной в сечении, и подсчитать

Если в условии задачи говориться, что сечение требуется построить и найти площадь полученного сечения, то на первом этапе следует обосновано выполнить построение заданного сечения, и затем, естественно, определить вид фигуры, полученной в сечении, и т.д.

Отметим следующий факт: так как строятся сечения выпуклых многогранников, то многоугольник сечения будет тоже выпуклым, поэтому его площадь можно найти разбиением на треугольники, то есть площадь сечения равна сумме площадей треугольников из которых оно составлено.

Задача 1.

– правильная треугольная пирамида со стороной основания равной и высотой равной Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки, где – середина стороны, и найдите его площадь (рис.8).

Решение.

Сечением пирамиды является треугольник. Найдем его площадь.

Так как основание пирамиды – равносторонний треугольник и точка – середина стороны, то является высотой и тогда, .

Площадь треугольника можно найти:

Задача 2.

Боковое ребро правильной призмы равно стороне основания. Построить сечения призмы плоскостями, проходящими через точку A , перпендикулярно прямой Если найти площадь полученного сечения призмы.

Решение.

Построим заданное сечение. Сделаем это из чисто геометрических соображений, например, следующим образом.

В плоскости проходящей через заданную прямую и заданную точку проведем через эту точку прямую, перпендикулярную прямой (рис. 9). Воспользуемся с этой целью тем, что в треугольнике то есть его медиана является и высотой этого треугольника. Таким образом, прямая.

Через точку проведем еще одну прямую, перпендикулярную прямой. Проведем ее, например, в плоскости, проходящей через прямую. Ясно, что этой прямой является прямая

Итак, построены две пересекающиеся прямые, перпендикулярные прямой. Этими прямимы определяется плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой то есть задана секущая плоскость.

Построим сечение призмы этой плоскостью. Заметим, что так как, то прямая параллельна плоскости. Тогда плоскость, проходящая через прямую, пересекает плоскость по прямой, параллельной прямой, то есть и прямой. Проведем через точку прямую и полученную точку соединим точкой.

Четырехугольник заданное сечение. Определим его площадь.

Понятно что четырехугольник является прямоугольником, то есть его площадь

рис. 9

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформированные Евклидом около 300 года до нашей эры, ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии.

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Многогранники и построение их сечений”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.

На уроках геометрии в этом году мы прошли тему “Построение сечений многогранников”. В рамках программы мы изучили один метод построения сечений, но мне стало интересно, а какие методы ещё существуют.

Цель моей работы : Изучить все методы построения сечений многогранников.

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. "Многогранников вызывающе мало, - написал когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

История начертательной геометрии

Еще в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворения своих потребностей, в том числе эстетических. При этом основное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета.

С ростом практических и технических применений изображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных сооружений и т. п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определенного предмета. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрические обоснованные правила и методы изображения пространственных фигур (с соблюдением перспективы) стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Начертательная геометрия как наука была создана в конце XVIII века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем (1746 – 1818). В 1637 г. французский геометр и философ Рене Декарт (1596 – 1650) создал метод координат и заложил основы аналитической геометрии, а его соотечественник, инженер и математик Жирар Дезаг (1593 – 1662), использовал этот метод координат для построения перспективных проекций и обосновал теорию аксонометрических проекций.

В XVII веке в России успешно развивались технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. Здесь в первую очередь следует назвать чертежи выдающегося русского механика и изобретателя И.П. Кулибина (1735 – 1818). В его проекте деревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции (1773). (Ортогональное проектирование плоскости на лежащую в ней прямую или пространства на плоскость – это частный случай параллельного проектирования, в котором направление проекции перпендикулярно прямой или плоскости, на которую проектируют.)

Большой вклад в развитие ортогональных проекций внес французский инженер А. Фрезье (1682 –1773), который впервые рассмотрел проецирование объекта на две плоскости – горизонтальную и фронтальную.

Величайшей заслугой Г. Монжа явилось обобщение всех научных трудов его предшественников, всей теории о методах изображения пространственных фигур и создание единой математической науки об ортогональном проецировании – начертательной геометрии.

Рождение этой новой науки почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения – Института Корпуса инженеров путей сообщения (2 декабря 1809 г.)

Выпускники этого института, его профессора и ученые внесли существенный вклад в развитие геометрических методов изображения, в теорию и практику начертательной геометрии.

Определения многогранников

В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами . Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из нескольких плоских многоугольников. Многогранник называется выпуклым , если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью . Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника , а вершины - вершинами многогранника.

Сечением многогранника плоскостью называется геометрическая фигура, представляющая собой множество всех точек пространства, принадлежащих одновременно данным многограннику и плоскости; плоскость при этом называется секущей плоскостью.

Поверхность многогранника состоит из ребер, отрезков и граней плоских многоугольников. Так как прямая и плоскость пересекаются в точке, а две плоскости - по прямой, то сечением многогранника плоскостью является плоский многоугольник ; вершинами этого многоугольника служат точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами - отрезки, по которым секущая плоскость пересекает его грани. Это означает, что для построения искомого сечения данного многогранника плоскостью α достаточно построить точки ее пересечения с ребрами многогранника. Затем последовательно соединить отрезками эти точки, при этом выделить сплошными линиями, видимые и штриховыми невидимые стороны полученного многоугольника сечения.

III. Методы построения сечений многогранников

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
В задачах используются в основном простейшие многогранники.
Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

Что значит построить сечение многогранника плоскостью;
Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
Как задается плоскость;
Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

Тремя точками;
Прямой и точкой;
Двумя параллельными прямыми;
Двумя пересекающимися прямыми,

Построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

3.1 Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии

Задача 1 . Постройте сечение пирамиды РАВС плоскостью α = (МКH), где М, К и Н- внутренние точки соответственно ребер РС, РВ и АВ (рис. 1, а).

Решение .

1-й шаг . Точки М и K лежат в каждой из двух плоскостей α и РВС. Поэтому по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α пересекает плоскость РВС по прямой МК. Следовательно, отрезок МК - одна из сторон искомого сечения (рис. 1, б).

2-й шаг . Аналогично, отрезок КН - другая сторона искомого сечения (рис. 1, в).

3-й шаг . Точки М и Н не лежат одновременно ни в одной из граней пирамиды РАВС, поэтому отрезок МН не является стороной сечения этой пирамиды. Прямые КН и РА лежат в плоскости грани АВР и пересекаются. Построим точку T= КН ∩АР (рис. 1, г).

Поскольку прямая КН лежит в плоскости α, то и точка T лежит в плоскости α. Теперь мы видим, что плоскости α и АРС имеют общие точки М и T. Следовательно, по аксиоме пересечения двух плоскостей плоскость α и плоскость АРС пересекаются по прямой МТ, которая, в свою очередь, пересекает ребро АС в точке R (рис. 1, д).

4-й шаг . Теперь так же, как в шаге 1, устанавливаем, что плоскость α пересекает грани АСР и АВС по отрезкам MR и HR соответственно. Следовательно, искомое сечение - четырехугольник MKHR (рис. 1, е).

Рис. 2

Задача 2. Постройте сечение пирамиды MABCD плоскостью α = (КНР), где K, H и P - внутренние точки ребер соответственно МА, МВ и MD (рис. 2, а).

Решение. Первые два шага аналогичны шагам 1 и 2 предыдущей задачи. В результате получим стороны КР и КН (рис. 2, б) искомого сечения. Построим остальные вершины и стороны многоугольника - сечения.

3-й шаг . Продолжим отрезок КР до пересечения с прямой AD в точке F (рис. 2, в). Так как прямая КР лежит в секущей плоскости α, то точка F= КР ∩ AD = КР ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.

4-й шаг . Продолжим отрезок КН до пересечения с прямой АВ в точке L (рис. 2, г). Так как прямая КН лежит в секущей плоскости α, то точка L = КН ∩ АВ = КН ∩ (АВС) является общей для плоскостей α и АВС.

Таким образом , точки F и L являются общими для плоскостей α и АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость АВС основания пирамиды по прямой FL.

5-й шаг . Проведем прямую FL. Эта прямая пересекает ребра ВС и DС соответственно в точках R и T (рис. 2, д), которые служат вершинами искомого сечения. Значит, плоскость α пересекает грань основания ABCD по отрезку RT - стороне искомого сечения.

6-й шаг . Теперь проводим отрезки RH и РТ (рис. 2, е), по которым плоскость α пересекает грани ВМС и MCD данной пирамиды. Получаем пятиугольник РКНRТ - искомое сечение пирамиды MABCD (рис. 2, е).

Рассмотрим более сложную задачу.

Задача 3 . Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α = (KQR), где K, Q - внутренние точки ребер соответственно РА и РС, а точка R лежит внутри грани DPE (рис. 3, а).

Решение . Прямые (QK и АС лежат в одной плоскости АСР (по аксиоме прямой и плоскости) и пересекаются в некоторой точке T1, (рис. 3 б), при этом T1 є α, так как QК є α.

Прямая РR пересекает DE в некоторой точке F (рис. 3, в), которая является точкой пересечения плоскости АРR и стороны DE основания пирамиды. Тогда прямые КR и АF лежат в одной плоскости АРR и пересекаются в некоторой точке Т2 (рис. 3, г), при этом Т2 є α, как точка прямой KR є α (по аксиоме прямой и плоскости).

Получили: прямая Т1 Т2 лежит в секущей плоскости α и в плоскости основания пирамиды (по аксиоме прямой и плоскости), при этом прямая пересекает стороны DE и АЕ основания ABCDE пирамиды соответственно в точках М и N (рис. 3, д), которые являются точками пересечения плоскости α с ребрами DE и АЕ пирамиды и служат вершинами искомого сечения.

Далее , прямая MR лежит в плоскости грани DPE и в секущей плоскости α (по аксиоме прямой и плоскости), пересекая при этом ребро PD в некоторой точке Н - еще одной вершине искомого сечения (рис. 3, е).

Далее, построим точку Т3 - Т1Т2 ∩ АВ (рис. 3, ж), которая, как точка прямой Т1Т2 є α, лежит в плоскости а (по аксиоме прямой и плоскости). Теперь плоскости грани РАВ принадлежат две точки Т3 и К секущей плоскости α, значит, прямая Т3К - прямая пересечения этих плоскостей. Прямая Т3К пересекает ребро РВ в точке L (рис. 3, з), которая служит очередной вершиной искомого сечения.

Рис. 3

Таким образом, «цепочка» последовательности построения искомого сечения такова:

1 . Т1 = QK ∩АС;

2 . F = PR ∩ DE;

3. Т2 = KR ∩ AF;

4 . М = Т1Т2 ∩ DE;

5 . N = Т1Т2 ∩ АЕ;

6 . Н = MR ∩ PD;

7. T3 = Т1Т2 ∩ АВ;

8 . L = T3K ∩ PB.

Шестиугольник MNKLQH - искомое сечение.

Сечение пирамиды на рис. 1 и сечение куба на рис. 2 построены на основании лишь аксиом стереометрии.

Вместе с тем сечение многогранника, имеющего параллельные грани (призма, параллелепипед, куб), можно строить, используя свойства параллельных плоскостей.

3.2 Метод следов в построении плоских сечений многогранников

Прямая, по которой секущая плоскость α пересекает плоскость основания многогранника, называется следом плоскости α в плоскости этого основания.

Из определения следа получаем: в каждой его точке пересекаются прямые, одна из которых лежит в секущей плоскости, другая - в плоскости основания. Именно это свойство следа используют при построении плоских сечений многогранников методом следов. Причем в секущей плоскости, удобно использовать такие прямые, которые пересекают ребра многогранника.

Сначала секущую плоскость зададим ее следом в плоскости основания призмы (пирамиды) и точкой, принадлежащей поверхности призмы (пирамиды).

Задача 1 . Построить сечение призмы АВСВЕА1В1С1D1Е1 плоскостью α, которая задана следом l в плоскости АВС основания призмы и точкой М, принадлежащей ребру DD1.

Решение. Анализ . Предположим, что пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 4). Для построения этого плоского пятиугольника достаточно построить его вершины N, P, Q, R (точка М дана) - точки пересечения секущей плоскости α с ребрами соответственно СС1, ВB1, АА1, ЕЕ1 данной призмы.

Е1 D1

Для построения точки N =α ∩ СС1 достаточно построить прямую пересечения секущей плоскости α с плоскостью грани СDD1C1. Для этого, в свою очередь, достаточно построить в плоскости этой грани еще одну точку, принадлежащую секущей плоскости α. Как построить такую точку?

Так как прямая l лежит в плоскости основания призмы, то она может пересекать плоскость грани СDD1C1 лишь в точке, которая принадлежит прямой CD = (CDD1) ∩ (АВС), т.е. точка X = l ∩ СD = l ∩ (CDD1) принадлежит секущей плоскости α. Таким образом, для построения точки N = α ∩ СС1 достаточно построить точку X = l ∩ СD.

Аналогично, для построения точек Р= α ∩ ВВ1, Q = α ∩ АА1 и R = α ∩ ЕЕ1 достаточно построить соответственно точки: У = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и Т =1 ∩ АЕ.

Построение . Строим (рис. 5):

1. X = l ∩ СD (рис. 5, б);

2. N = МХ ∩ СС1 (рис. 5, в);

3. У = l ∩ ВС (рис. 5, г);

4. Р = NY ∩ ВВ1 (рис. 5, д);

5. Z = 1 ∩ АВ (рис. 5, е);

6. Q= РZ ∩ АА1 (рис. 5, ж);

7. T= l ∩ АЕ (рис. 5, з);

8. R= QT ∩ ЕЕ1 (рис. 5, и).

Пятиугольник MNPQR - искомое сечение (рис. 5, к).

Доказательство. Так как прямая l - след секущей плоскости α, то точки X = l ∩ СD, Y = l ∩ ВС, Z = 1 ∩ АВ и T= l ∩ АЕ принадлежат этой плоскости.

Поэтому имеем :

М Є α, X Є α => МХ є α, тогда МХ ∩ СС1 = N є α , значит, N = α ∩ СС1;

N Є α, Y Є α => NY Є α, тогда NY ∩ ВВ1= Р Є α, значит, Р = α ∩ ВВ1;

Р Є α, Z Є α => РZ Є α, тогда PZ ∩ AА1 = Q Є α, значит, Q = α ∩ АA1;

Q Є α, T Є α => QТ Є α, тогда QТ ∩ EЕ1 =R Є α, значит, R = α ∩ ЕЕ1.

Следовательно, MNPQR - искомое сечение.

Исследование. След l секущей плоскости α не пересекает основание призмы, а точка М секущей плоскости принадлежит боковому ребру DD1 призмы. Поэтому секущая плоскость α не параллельна боковым ребрам. Следовательно, точки N, Р, Q и R пересечения этой плоскости с боковыми ребрами призмы (или продолжениями этих ребер) всегда существуют. А поскольку, кроме того, точка М не принадлежит следу l, то определяемая ими плоскость α единственна. Это означает, что задача имеет (всегда) единственное решение.

3.3 Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников

В некоторых учебных пособиях метод построения сечений много-гранников, ко¬торый мы сейчас будем рассматривать, называют методом внутреннего проекти¬рования или методом соответствий, или методом диа-гональных сечений.

Задача 1 . Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью α = (МFR), если точки М, F и R являются внутренними точками ребер соответ-ственно РА, РС и РЕ. (Рис. 6)

Решение . Плоскость основания пирамиды обозначим β. Для построе-ния искомого сечения построим точки пересечения секущей плоскости α с ребрами пирамиды.

Построим точку пересечения секущей плоскости с ребром РD данной пирамиды.

Плоскости APD и CPE пересекают плоскость β по прямым соответ-ственно АD и СЕ, которые пересекаются в некоторой точке К. Прямая РК=(АРD) ∩(СРЕ) пересекает прямую FR є α в некоторой точке К1: К1 = РК ∩ FR, при этом К1 є α. Тогда: М є α, К1 є α => прямая МK є а. Поэтому точка Q = МК1 ∩ РD есть точка пересечения ребра РD и секущей плоскости: Q =α ∩ PD. Точка Q- вершина искомого сечения. Аналогично строим точку пересечения плоскости α и ребра РВ. Плоскости ВРЕ и АРD пересекают плоскость β по прямым соответственно ВЕ и АD, которые пересекаются в точке Н. Прямая РН = (ВРЕ) ∩ (АРD) пересекает прямую МQ в точке Н1.Тогда прямая RН1 пересекает ребро РВ в точке N = α ∩ РВ - вершине сечения.

Таким образом , последовательность шагов построения искомого сечения такова:

1 . К = АD ∩ ЕС; 2 . К1 = РК ∩ RF;

3 . Q = МК1 ∩ РD; 4. H = BE ∩ АD;

5 . Н1 = РН ∩ МQ; 6 . N = RН1 ∩ РВ.

Пятиугольник MNFQR - искомое сечение.

3.4 Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников

Сущность комбинированного метода по¬строения сечений многогранников состоит в следующем. На некоторых этапах по¬строения сечения применяется или метод следов, или метод внутреннего проектирования, а на других этапах построения этого же сечения используются изученные теоремы о параллельности, перпендикулярности прямых и плоскостей.

Для иллюстрации применения этого метода рассмотрим следующую задачу.

Задача1 .

Постройте сечение параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 плоскостью α, заданной точками Р, Q и R, если точка Р лежит на диагонали А1C1, точка Q на ребре ВВ1 и точка R на ребре DD1. (Рис. 7)

Решение

Решим эту задачу с применением метода следов и теорем о параллельности прямых и плоскостей.

Прежде всего, построим след секущей плоскости α = (РQR) на плоско-сти АВС Для этого строим точки Т1 = РQ ∩ Р1В (где PP1 ║AA1,P1є AC) и T2 = RQ ∩ ВD. Построив след Т1Т2, замечаем, что точка Р лежит в плоскости А1B1C1, которая параллельна плоскости АВС. Это означает, что плоскость α пересекает плоскость А1B1C1 по прямой, проходящей через точку Р и парал-лельной прямой Т1Т2. Проведем эту прямую и обозначим через М и Е точки ее пересечения с ребрами соответственно А1B1 и А1D1 Получаем: М = α ∩ А1B1, Е =α∩ А1D1. Тогда отрезки ЕR и QМ являются сторонами искомого сечения.

Далее, так как плоскость ВСС1 параллельна плоскости грани ADD1A1, то плоскость α пересекает грань ВСC1B1 по от резку QF (F= α ∩ СС1), параллельному прямой ЕR. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку F можно получить, проведя RF║ MQ)

Решим эту задачу, применяя метод внутреннего проектирования и теоремы о параллельности прямых и плоскостей. (Рис. 8)

Рис. 8

Пусть Н=АС ∩ ВD. Проведя прямую НН1 параллельно ребру ВВ1 (Н1 є RQ), построим точку F: F=РН1 ∩ CC1.Tочка F является точкой пересечения плоскости α с ребром СС1, так как РН1 є α. Тогда отрезки RF и QF, по которым плоскость α пересекает соответственно грани CС1D1D и ВСС1В1 данного параллелепипеда, являются сторонами его искомого сечения.

Так как плоскость АВВ1 параллельна плоскости CDD1, то пересечением плоскости α и грани АВВ1А1 является отрезок QМ (М Є А1В1), параллельный отрезку FR; отрезок QМ - сторона сечения. Далее точка Е = МР ∩ А1D1 является точкой пересечения плоскости α и ребра А1D1, так как МР є α. Поэтому точка Е - еще одна вершина искомого сечения. Таким образом, пятиугольник ERFQM - искомое сечение. (Точку Е можно построить, проведя прямую RЕ ║ FQ. Тогда М = РЕ ∩ А1B1).

IV. Заключение

Благодаря этой работе я обобщила и систематизировала знания, полученные за курс геометрии этого года, ознакомилась с правилами выполнения творческой работы, получила новые знания и применила их на практике.

Мне бы хотелось чаще использовать свои новые полученные знания на практике.

К сожалению, я рассмотрела не все методы построения сечений многогранников. Существует ещё множество частных случаев:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой и др.

В будущем я планирую расширить своё исследование и дополнить свою работу разбором выше перечисленных частных случаев.

Я считаю, что моя работа актуальна, так как она может быть использована учащимися средних и старших классов для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике, для углубленного изучения материала на факультативах и для самообразования молодых учителей. Выпускники средних школ должны не только овладеть материалом школьных программ, но и уметь творчески применять его, находить решение любой проблемы.

V. Литература

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2008.
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. - М.: Дрофа, 2008.
Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости. Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. - Тольятти: ТГУ, 2004.
Научно-практический журнал для старшеклассников «Математика для школьников»,2009,№2/№3,1-64.
Геометрия в таблицах - Учебное пособие для учащихся старших классов - Нелин Е.П.
Геометрия, 7-11 класс, Справочные материалы, Безрукова Г.К., Литвиненко В.Н., 2008.
Математика, Справочное пособие, Для школьников старших классов и поступающих в ВУЗы, Рывкин А.А., Рывкин А.З., 2003.
Алгебра и геометрия в таблицах и схемах, Роганин А.Н., Дергачёв В.А., 2006.

Существует 2 основных метода построения сечений многогранников:

Аксиоматический метод построения сечений

1. Метод следов

Пример 1.

На ребрах АА" и В"С" призмы АВСА"В"С" зададим соответственно точку P и Q. Построим сечение призмы плоскостью (PQR), точку R которой зададим в одной из следующих граней:
а) ВССВ"С";
б) А"В"С";
в) АВС

Решение.

а) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (ВСС"), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскость(ВСС"). (рис.1)

2) Находим точки В"" и С", в которых прямая QR пересекает соответственно прямые ВВ" и СС". Точки В" и С" - это следы плоскости (PQR) соответственно на прямых ВВ" и СС".

3) Так как точки В"" и Р лежат в плоскости (АВВ"), то прямая В""Р лежит в этой плоскости. Проведем ее. Отрезок В**Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".

4) Так как точки Р и С лежат в плоскости (АСС"), то прямая РС"" лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС").

5) Находим точку V, в которой прямая РС"" пересекает ребро А"С". Это след плоскости (PQR) на ребре А"С".

6) Тачка как точки Q и V лежат в плоскости (А"В"С"), то прямая QV лежит в этой плоскости. Проведем прямую QV. Отрезок QV - след плоскости (PQR) на грани АВС. Итак, мы получили многоугольник QB""PV - искомое сечение.

б) 1) Так как точки Q и R лежат в плоскости (А"В"С"), то в этой плоскости лежит прямая QR. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (А"В"С").(рис.2)

2) Находим точки D" и Е", в которых прямая QR пересекает соответственно прямые А"В" и B"С". Так как точка D" лежит на ребре А"В", отрезок QD" - след плоскости (PQR) на грани А"В"С".

3) Так как точки D" и P лежат в плоскости (АВВ"), то прямая D"P лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АВВ"), а отрезок D"P - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".

4) Так как точки Р и Е" лежат в плоскости (АСС"), то в этой плоскости лежит прямая РЕ". Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (АСС").

5) Находим точку С""=PE""CC". Так как точка С"" лежит на ребре СС", то отрезок РС"" - это след плоскости (PQR) на грани АСС"А".

6) Так как точки Q и С"" лежат в плоскости (ВСС"), то прямая QC"" лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС"), а отрезок QC""- след плоскости (PQR) на грани ВСС"В". Итак, мы получили многоугольник QD"РС"" - это и есть искомое сечение.

в) 1) Из трех заданных точек Р, Q и R никакие две не лежат в какой-нибудь одной из плоскостей граней призмы, поэтому найдем основной след плоскости (PQR) (т. е. линию пересечения плоскости (PQR) с плоскостью (АВС), выбранной в качестве основной). Для этого сначала найдем проекции точек Р, Q и R на плоскость (АВС) в направлении, параллельном боковому ребру призмы. Так как точка Р лежит на ребре АА", то точка Р" совпадает с точкой А. Так как точка Q лежит в плоскости (ВСС"), то в этой плоскости через точку Q проведем прямую, параллельную прямой ВВ", и найдем точку Q", в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС. Так как точка R по условию лежит в плоскости, выбранной в качестве основной, то точка R" совпадает с точкой R.(Рис.3)

2) Параллельными прямыми РР" и QQ" определяется плоскость. Проведем в этой плоскости прямые PQ и Р"Q" и найдем точку S=PQ пересекает P"Q". Так как точка S" лежит на прямой PQ, то она лежит в плоскости (PQR), и так как точка S" лежит на прямой Р"Q", то она лежит в плоскости (АВС). Таким образом, точка S" является общей точкой плоскостей (PQR) и (АВС). Это значит, что плоскости (PQR) и (АВС) пересекаются по прямой, проходящей через точку S".

3) Так как точка R совпадает с точкой R", то точка R - это еще одна общая точка плоскостей (PQR) и (АВС). Таким образом, прямая S"R - основной след плоскости (PQR). Проведем эту прямую. Как видим из рисунка, прямая S"R пересекает ребра АВ и ВС основания призмы соответственно в точках S" "и S""".

4) Так как точки S""" и Q лежат в плоскости (ВСС"), то прямая S""" Q лежит в этой плоскости. Проведем ее. Это след плоскости (PQR) на плоскости (ВСС"). А отрезок S""" Q, - след плоскости (PQR) на грани ВСС"В".

5) Аналогично находим отрезок S"" Р - след плоскости (PQR) на грани АВВ"А".

7) Находим точку F=PC"" пересекает A"С" и получаем затем отрезок PF - след плоскости (PQR) на грани АСС"А".

8) Точки Q и F лежат в плоскости А"В"C", поэтому прямая QF лежит в плоскости (А"В"C"). Проведем прямую QF, получим отрезок QF - след плоскости (PQR) на грани А"В"C". Итак, мы получили многоугольник QS"""S""PF - искомое сечение.

3 а м е ч а н и е . Покажем другой путь нахождения точки С"", при котором не находим точку пересечения прямой S""" Q с прямой С"С"". Будем рассуждать следующим образом. Если следом плоскости (PQR) на прямой СС" является некоторая точка V, то ее проекция на плоскость (АВС) совпадает с точкой С. Тогда точка S""""= V"P "пересекает VP лежит на основном следе S"R плоскости (PQR). Строим эту точку S"""" как точку пересечения прямых V"P" (это прямая СА) и S"R. А далее проводим прямую S""""Р. Она пересекает прямую СС" в точке V.

Пример 2.

На ребре МВ пирамиды МАВСD зададим точку Р, на ее грани MCD зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью (PQR), точку R которой зададим:
а) на ребре МС;
б) на грани МАD;
в) в плоскости (МАС), вне пирамиды.

Решение.

a) Следом плоскости (PQR) на грани МВС является отрезок РR, а ее следом на грани MCD является отрезок RD", где точка D" - это точка пересечения прямой RQ с ребром МD. Ясно, что плоскость (PQR) имеет следы на гранях MAD и МАВ (так как с этими гранями плоскость (PQR) имеет общие точки). Найдем след плоскости (PQR) на прямой МА. Сделаем это следующим образом:

1) Построим точки Р", Q" и R" - проекции точек Р, Q и R из центра М на плоскость (АВС), принимаемую, таким образом, за основную плоскость. (Рис. 4)

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в некоторой точке V, то точка V" совпадает с точкой А и точка S"""= VQ пересекает V"Q" лежит на прямой S" S"". Другими словами, в точке S""" пересекаются три прямые: VQ, V"Q"" и S" S"". Две последние прямые из этих трех на чертеже уже есть. Поэтому точку S""" мы построим как точку пересечения прямых V"Q" и SS"".

4) Проведем прямую QS""" (она совпадает с прямой VQ, так как прямая VQ должна проходить через точку S""", т. е. точки V, Q и S""" лежат на одной прямой).

5) Находим точку V, в которой прямая QS"" "пересекает прямую МА, Точка V - это след плоскости (PQR) на ребре МА. Далее ясно, что отрезки PV и VD" - следы плоскости (PQR) соответственно на гранях МАВ и MAD. Таким образом, многоугольник PRD"V - искомое сечение.

б) 1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P", Q" и R" - проекции соответственно точек Р, Q и R на плоскость (АВС). Центром этого внутреннего проектирования является точка М.(Рис.5.)

2) Строим прямую S"S"" - основной след плоскости (PQR).

3) Если плоскость (PQR) пересекает прямую МА в точке V, то точка V" - проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М- совпадает с точкой А, а прямые S"S"", V"R" и прямая VR, точка V которой пока нами не построена, пересекаются в точке S""". Находим эту точку S"""=V"R" пересекается S"S"" . "", и находим точку V=RS""" пересекается MA. Дальнейшее построение ясно. Искомым сечением является многоугольник PVD"Т.

в)

(Рис.6.) Пусть точка R расположена в плоскости (МАС) так, как это показано на рисунке 6.

1) Принимаем плоскость (АВС) за основную плоскость и строим точки P", Q" и R" - проекции соответственно точек P, Q и R на плоскость (ABC). (центром проектирования является точка М.)

2) Строим прямую S"S"", - основной след плоскости (PQR).

3) Находим точку V - след плоскости (PQR) на прямой МА. Точка V" - проекция точки V на плоскость (АВС) из центра М- совпадает в этом случае с точкой А.

4) Находим точку S"""= P"V" пересекается S"S"", а затем и точку V =PS""" пересекается МА.

5) Получаем след РV плоскости (PQR) на плоскости (МАВ).

6) Находим точку T - след плоскости (PQR) на прямой МО. Ясно, что точка Т" в этом случае совпадает с точкой D. Для построения точки T строим точку S""""=Q"T" пересекается S"S"", а затем точку T = QS""" "пересекается MT".

7) Совокупность следов PV, VT, ТС", и С"P, т. е. многоугольник PVTC" - искомое сечение.

Комбинированный метод построения сечений

Пример№1.

На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.

Решение

(рисунок 14):

1). Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.

3). Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.

5). Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD"RB" - искомое сечение.

1. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой.

Пусть, например, требуется построить сечение многогранника плоскостью @, проходящей через заданную прямую р параллельную второй заданной прямой q. В общем случае решение этой задачи требует некоторых предварительных построений, которые можно выполнять по следующему плану:

1). Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой p проведем плоскость бетта (рис.

2). В плоскости бетта через точку W проведем прямую q" параллельную q.

3). Пересекающимися прямыми p и q". Определяется плоскость @. На этом предварительные построения заканчиваются и можно переходить к построению непосредственно сечения многогранника плоскостью @. В некоторых случаях особенности конкретной задачи позволяет осуществить и болле короткий план решения. Рассмотрим примеры.

Пример№2.

На ребрах BC и MA пирамиды MABC зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение пирамиды плоскостью @, проходящей через прямую PQ параллельно прямой AR, точку R, которую зададим следующим образом: а). На ребре MB; б). Она совпадает с точкой В; в). В грани MAB.

Решение:

а)

.(рисунок Плоскость, проходящая через вторую прямую, то есть прямую AR, и точку Q, взятую на первой прямой, на изображении уже есть. Это плоскость MAB.

2). В плоскости MAB через точку Q проведем прямую QF параллельную AR.

3). Пересекающимися прямыми PQ и QF определяется плоскость @ (эта плоскость PQF) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение методом следов.

4). Точка B совпадает с точкой F" - проекцией точки F на плоскость ABC (из центра М), а точка A совпадает с точкой Q" - проекция точки Q на эту плоскость. Тогда точка S"=FQ F"Q" лежит на основном следе секущей плоскости @. Так как точка P лежит на основном следе секущей плоскости, то прямая S"P - это основной след плоскости @, а отрезок S""P - след плоскости @ на грани ABC. Далее ясно, что точку P следует соединить с точкой F. В итоге получаем четырехугольник PFQS"" - искомое сечение.

б)

(рисунокПлоскость, проходящая через прямую AB и точку Р прямой PQ, на изображении уже построена. Это плоскость АВС. Продолжим построение по вышеизложенному плану.

2). В плоскости АВС через точку P проведем прямую PD, параллельную прямой AB.

3). Пересекающимися прямыми PQ и PD определяется плоскость альфа (это плоскость PQD) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4). Ясно, что следом плоскости альфа на грани МАС является отрезок DQ.

5). Дальнейшие построения выполним, принимая во внимание следующие соображения. Так как прямая PD параллельна прямой AB, то прямая PD параллельна плоскости МАВ. Тогда плоскость альфа, проходящая через прямую PD, пересекает плоскость МАВ по прямой, параллельной прямой PD, то есть и прямой АВ. Итак, в плоскости МАВ через точку Q проведем прямую QE параллельную АВ. Отрезок QE - это след плоскости альфа на грани МАВ.

6). Соединим точку Р с точкой Е. Отрезок РЕ - это след плоскости альфа на грани МВС. Таким образом, четырехугольник PEQD - искомое сечение. совпадает с точкой А, а точка L" совпадает с R"=MR BC. Тогда точка S"=LQ L"Q" лежит на основном следе секущей плоскости альфа. Этим основным следом является прямая S"P, а следом плоскости альфа на грани АВС является отрезок S""P. Далее прямая PL - это след плоскости альфа на плоскости МВС, а отрезок РN - след плоскости альфа на грани МВС. Итак, четырехугольник PS""QN - искомое сечение.

Пример 3.

На диагоналях АС и C"E" оснований призмы ABCDEA"B"C"D"E" зададим соответственно точки P и Q. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через прямую PQ параллельно одной из следующих прямых: а). АВ; б). АС"; в). BC" Решение:

а)

(рисунок Плоскость. проходящая через прямую АВ - вторую заданную прямую и точку Р, взятую на первой прямой, уже построена. Это плоскость АВС.

2). В плоскости АВС через точку Р проведем прямую, параллельно прямой АВ, и найдем точки К и L, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые ВС и АЕ. B"C" также параллельны между собой. Принимая во внимание, что KL параллельна AB и A"B" параллельна АВ, проведем в плоскости А"B"C" через точку Q прямую, параллельную прямой A"B", и найдем точки F и Т, в которых эта прямая пересекает соответственно прямые C"D" и A"E". Далее получаем отрезок TL - след плоскости альфа на грани AEE"A", точку S"=KL CD, прямую S"F - след плоскости альфа на плоскости CDD" , отрезок FC"" - след плоскости альфа на грани CDD"C" и, наконец, отрезок C""K - след плоскости альфа на грани BCC"B". В итоге получаем многоугольник KLTFC"" - искомое сечение.

б)

(рисунок Проведем плоскость через прямую AC" - вторую заданную прямую, и точку Р, взятую на первой прямой. Это плоскость ACC".

2). В плоскости ACC" через точку Р проведем прямую, параллельную прямой АС", и найдем точку C"", в которой эта прямая пересекает прямую CC".

3). Пересекающимися прямыми PQ и PC"" определяется плоскость альфа (плоскость C""PQ) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение, например, методом следов. Одна точка, принадлежащая следу плоскости альфа на плоскость ABC, которую мы принимаем за основную, на чертеже уже есть. Это точка Р. Найдем еще одну точку этого следа.

4). Проекция точки C"" на плоскость АВС является точка С, а проекцией точки Q - точка Q" - точка пересечения прямой CE с прямой, проходящей в плоскости CEE" через точку Q параллельно прямой EE". Точка S"=C""Q CQ" - это вторая точка основного следа плоскости альфа. Итак, основным следом плоскости альфа является прямая S"P. Она пересекает стороны ВС и АЕ основания призмы соответственно в точках S"" и S""" . Тогда отрезок S""S""" - след секущей плоскости альфа на грани ABCDE. А отрезок S""C"" - след плоскости альфа на грани BCC"B". Нетрудно увидеть, что прямые C"" Q и EE" лежат в одной плоскости. Найдем точку E"" =С""Q EE". Тогда ясно получение дальнейших следов плоскости альфа: S"""S"", S"""T, TF и FC"". В итоге получаем многоугольник S""S"""TFC"" - искомое сечение.

в)

(рисунокЧерез вторую заданную прямую - прямую BC" - и, например, через точку Р, лежащую на первой заданной прямой, поведем плоскость. Сделаем это методом следов. Легко устанавливается, что основным следом этой плоскости BC"P является прямая ВР. Затем находим точку S"=BP CD и след S"C" плоскости BC"P и плоскости CDD".

2).В плоскости BC"P через точку Р проведем прямую, параллельную прямой BC". Точку пересечения проведенной прямой с прямой S"C" обозначим V.

3). Пересекающимися прямыми PQ и PV определяется плоскость альфа (плоскость PQV) - плоскость искомого сечения. Построим это сечение.

4). Находим точки Q" и V" - проекции соответственно точек Q и V на плоскость ABC, принимаемую нами за основную плоскость. Затем находим точку S""=QV Q"V". Это одна из точек основного следа плоскости альфа. И еще одна точка этого следа уже есть. Это заданная точка Р. Итак, прямая S""P - основной след плоскости альфа, а полученный при этом отрезок S"""S"""" - след плоскости альфа на грани АВСDE. Дальнейший ход построения ясен: S"""""=S""P CD, S"""""V, точки C""=S"""""V CC" и F=S"""""V C"D", затем FQ и точка T=FQ A"E" и, наконец, TS"""". В итоге получаем многоугольник S"""C""FTS"""" - искомое сечение.

Замечание: Наметим кратко ход решения примера 3,в, при котором на первой заданной прямой была взята точка Q, а не точка P (рисунок 22).

1). Строим плоскость BC"Q (это плоскость BC"E").

2). Плоскость BC"Q пересекает плоскость ABC по прямой BN параллельной C"E"(для построения можно воспользоваться тем, что BN параллельна СЕ).

3). В плоскости BC"Q через точку Q проводим прямую QM параллельную BC" (М=QM BN).

4). Строим сечение призмы плоскостью, определяемой пересекающимися прямыми PQ и QM. Это можно сделать в следующем порядке: MP, S"=MP AE и S""=МР ВС, S""""=MP CE, C""=S""""Q CC", S"""C"", F=S"""C"" C"D", FQ, T=FQ A"E", TS. Многоугольник S""C""FTS"- искомое сечение.

2. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.

Пусть требуется построить сечение многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку К параллельно двум заданным скрещивающимся прямым l и m. При background:#FFCCCC; border:outset #CC33FF 1.5pt">

1.Выберем некоторую точку W. (Эта точка может лежать на одной из заданных скрещивающихся прямых, может совпадать с точкой К.)

2.Через точку W проведем прямые l" и m". (Естественно, если точка W лежит на одной из прямых, например на прямой l, то прямая l" совпадает с прямой l.)

3. Пересекающимися прямыми l" и m" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения многогранника. Строим сечение многогранника плоскостью бетта.

4. Построим сечения многогранника плоскостью альфа, проходящей через точку K, параллельно плоскости бетта.

Рассмотрим примеры применения изложенного плана.

П р и м е р 4.

На ребрах AD и С"D" призмы ABCDA"В"С"D", зададим соответственно точки P и Q, а на ребре DD" зададим точку К. Построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых: а) АВ; б) А"В; в) BR, точку R которой зададим на ребре A"D".

Решение. a)

(Рис. 2Пусть точка W совпадает с точкой P.

2) В плоскости АВС через точку P проведем прямую, параллельную прямой АВ. Найдем точку Е, в которой проведенная прямая пересекает прямую ВС.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PE определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения. Построим сечение призмы плоскостью бетта. Прямая PE и точки С"" и D"" - следы плоскости бетта соответственно на прямых СС" и DD". Затем строим прямую D""Р и получаем точку F на ребре А"D". Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта являет - я многоугольник РЕС""QF.

4) Строим теперь сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.

б)

(Рис. Пусть точка W совпадает с точкой Q. Чтобы через точку Q провести прямую, параллельную прямой А"В, сначала через прямую А"В и точку Q проведем плоскость гамма. Сделаем это так. Найдем точку Q" - проекцию точки Q на плоскость АВС и проведем прямую AQ". Ясно, что AQ" параллельно A"Q. Теперь через точку В в плоскости АВС проведем прямую l" параллельно AQ". Пересекающимися прямыми А"В и l" определяется плоскость гамма. В плоскости гамма через точку Q проведем прямую l"" параллельно A"В.

3) Пересекающимися прямыми PQ и l"", определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Находим для этого точку S"=l" пересекается l"", а затем прямую PS" - основной след плоскости бетта. Находим далее точку s""=PS" пересекается CD и проводим прямую S""Q - след плоскости бетта на плоскости CDD". Получаем точку D"" - след плоскости бетта на прямой DD". Точка D"" и точка Р лежат в плоскости ADD". Поэтому прямая PD""- след плоскости бетта на плоскости АDD", а отрезок PF - след плоскости бетта на грани ADD"A". Таким образом, сечением призмы плоскостью бетта является четырехугольник РS""QF. (Обратите внимание: QF параллельно PS"". И это, естественно, так. Ведь основания призмы лежат в параллельных плоскостях. Этим обстоятельством можно было воспользоваться при построении сечения призмы плоскостью бетта.)

4) Теперь строим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. Это построение выполнить уже несложно. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.

в)

(Рис. В качестве точки W выберем точку Q.

2) Через прямую BR и точку Q проведем плоскость гамма. Плоскость гамма пересекает плоскость АВС по прямой l" параллельно QR. Для построения прямой l" строим точки R" и Q" - проекции соответственно точек R и Q на плоскость АВС - и проводим прямую Q"R", а затем в плоскости АВС через точку В проводим прямую l" параллельно Q"R". В плоскости гамма через точку Q проводим прямую l"" параллельно BR. Получим точку S"=l" пересекается l"".

3) Пересекающимися прямыми PQ и l"" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения призмы. Построим это сечение. Ясно, что прямая PS" является основным следом плоскости бетта. Находим далее точки S""= PS" пересекается CD, S"""= РS" пересекается BC и C"" = QS"" пересекается CC". Получим отрезки РS""", S"""C"" и C""Q- следы плоскости бетта соответственно на гранях ABCD, ВСС"В и CDD"С". Далее либо проведем в плоскости А"В"С" прямую, параллельную следу PS", и получим точку F, либо найдем точку D""=S""Q пересекается DD" и проведем прямую D""Р. Эта прямая пересечет прямую А"D" в точке F. Получаем, таким образом, еще два следа плоскости бетта: QF н FP. Итак, многоугольник PS"""C""QF - сечение призмы плоскостью бетта.

4) Теперь построим сечение призмы плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно плоскости бетта. В итоге получаем треугольник KLN - искомое сечение.

П р и м е р 5.

На ребрах МВ и МА пирамиды МАВСD зададим соответственно точки Р и К, и на отрезке АС зададим точку Q. Построим сечение пирамиды плоскостью альфа, проходящей через точку К параллельно прямой PQ и одной из следующих прямых: а) CD; б) МС; в) RV, точки R и V которой зададим соответственно на ребрах АВ и МС пирамиды.

Р е ш е н и е.

(Рис. 2В плоскости ABC через точку Q проведем прямую, параллельную прямой CD, и. найдем точки S". S"" и S""", в которых эта прямая пересекает соответственно прямые BC, АD и АВ.

2) Пересекающимися прямыми PQ и S"S"" определяется плоскость бетта - плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Основным следом плоскости бетта является прямая S"S"". Отрезок PS" - след плоскости бетта на грани МВС, прямая PS""" - ее след на плоскости МАВ, отрезок PA" - на грани МАВ, отрезок А"S""- на грани MAD.

б)

(Рис. 27.) Выполним построение заданного сечения в следующем порядке:

1) В плоскости МАС через
точку Q проведем прямую QA параллельно MC

2) Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, которая определяется . С этой целью найдем точку S"=PA" пересекается АВ, проведем прямую S"Q, являющуюся основным следом плоскости PQA", получим точки S""=S"Q пересекается AD и S"""=S"Q пересекается BC и соединим точку А" с точкой S"", а точку P с точкой S""". Четырехугольник PA"S""S""" - это вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и МС, но не проходит через точку К.

3) Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости PQA". В итоге получаем четырехугольник В"KFE - искомое сечение.

a)

(Рис. 28.) Выполним построение заданного сечения пирамиды, построив сначала вспомогательное сечение ее плоскостью, проходящей через прямую PQ параллельно прямой RV. Сделаем это в следующем порядке:

1) Построим точку S"=PV пересекается BC и проведем прямую S"R.

2) Пересекающимися прямыми S"V и S"R определяется плоскость. В этой плоскости через точку Р проведем прямую PS"" параллельно RV.

3) Пересекающимися прямыми PQ и PS"" определяется плоскость вспомогательного сечения пирамиды. Построим это сечение. Находим последовательно прямую S""Q - основной след плоскости вспомогательного сечения, затем точки Т"=S""Q пересекается ВС, Т""=S""Q пересекается АB и Т"""=S""Q пересекается CD, Проведем далее прямую Т"P и найдем точку Е= Т"P пересекается "MC. Точку P соединим с точкой Т"", а точку Е - с Т""". Четырехугольник PT""Т"""Е - вспомогательное сечение пирамиды. Плоскость этого сечения параллельна прямым PQ и RV, но не проходит через точку К. Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости вспомогательного сечения. В итоге получаем четырехугольник КВ"С"D" - искомое сечение.

Нахождение площади сечения в многогранниках.

Задача №1.

Задача №2

Задача №3.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7

Задача №8.

Использование свойств подобных треугольников.

Поэтому далее представлены несколько простейших задач, в которых подобные треугольники играют главную роль, - тем более, что их нужно еще и построить (и увидеть!!!) с помощью стандартного стереометрического приема: одну плоскость пересечь другой плоскостью и построить их линию пересечения по двум общим для плоскостей точкам.

Задача №1.

Задача №2

Задача №3

Задача №4

Задача №5

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться четырьмя основными способами:

1)Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, то есть отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного обеим.

2)Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

3)Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые.

4)Нахождение расстояния от точки, - являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, - до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

Задача №18

Задача №19

Представьте 4 варианта решения данной задачи и выберите самый рациональный из них. Обоснуйте свой выбор.

Задача №20

Задача №21

Задача №22

Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

проходящей через боковое ребро и пересекающуюся с ним медиану основания, и плоскостью, проходящей через ту же медиану и середину любого другого бокового ребра.

Сечения.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны, а их длины равны а и b расстояние - между ними равно с. В тетраэдр вписан куб, четыре ребра которого перпендикулярны этим двум ребрам тетраэдра, а на каждой грани тетраэдра лежат ровно две вершины куба. Найдите ребро куба.

Задача №4.

Задача №5.

Задача №6.

Задача №7.

Задача №8.

Задача №9.

Отношение объемов частей многогранника.

Задача №1.

Задача №2.

Задача №3.

Задача №4.

Проекции и сечения правильных многогранников.

Задача №1.

окажите, что проекции додекаэдра и икосаэдра на плоскости, параллельные их граням, являются правильными многоугольниками.

Задача №2.

окажите, что проекция додекаэдра на плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и середину ребра, является шестиугольником (а не десятиугольником).

Задача №3.

а) окажите, что проекция икосаэдра на плоскость. перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и вершину, является правильным 10-угольником. б). Докажите, что проекция додекаэдра на плоскость, перпендикулярную прямой, проходящей через его центр и вершину, является неправильным 12- угольником.

Задача №4.

уществует ли сечение куба, являющееся правильным т шетиугольником?

Задача №5.

уществует ли сечение октаэдра, являющееся правильным шестиугольником?

Задача №6.

уществует ли сечение додекаэдра, являющееся правильным шестиугольником?

Задача №7.

ве грани АВС и АВD икосаэдра имеют общее ребро АВ. Через вершину D проводится плоскость, параллельная плоскости АВС. Верно ли, что сечение икосаэдра этой плоскостью является правильным шестиугольником?

Ответы к задачам по темам:

4. Угол между плоскостями.

5. Сечения

6. Отношение объемов частей многогранника.

7. Проекции и сечения правильных многогранников.

1. Нахождение площади сечения в многогранниках.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8

Задача №1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image040_59.gif" width="597" height="292 src=">

Задача №2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image042_56.gif" width="577" height="277 src=">

Задача №3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image044_53.gif" width="630" height="275 src=">

Задача №4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image046_49.gif" width="641" height="332 src=">

Задача №5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image048_46.gif" width="642" height="245 src=">

Задача №6.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image050_46.gif" width="680" height="340 src=">

Задача №7.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image052_47.gif" width="659" height="340 src=">left" style="margin-left: 6.75pt;margin-right:6.75pt">

2. Использование свойств подобных треугольников.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5

Задача №1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

2-ой случай

Задача №2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Задача №3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image061_42.gif" width="536" height="203">

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">MsoNormalTable">

Точка С принадлежит плоскости CB"A"D (так как CD" перпендикулярна C"D как диагонали квадрата и так как B"C" перпендикулярна плоскости CC"D"D, - из чего следует B"C" перпендикулярна СЕ, - то получаем СЕ перпендикулярна B"C" и СЕ перпендикулярна C"D). Затем проводим EF перпендикулярно B"D и тогда получаем B"D перпендикулярна CF (по теореме о трех перпендикулярах: CF по отношению к плоскости AB"C"D является наклонной, СЕ - перпендикуляром и EF - проекцией наклонной CF; то она перпендикулярна и самой наклонной CF). Так как EF и CF принадлежат соответственно обеим плоскостям, то угол фи (угол CFE) является искомым.

После этого обоснования следует несложная вычислительная часть.

"B"EF и D""C"EF), в результате чего перпендикуляры A""M и D""M, проведенные в обеих фигурах к их линии пересечения, попадут в одну точку М, причем - внутри, а не снаружи призмы, так как углы B"A""D и C"D""A - тупые (B"D и больше BD=AC=A""C"" и C"A больше AC=BD=B""D""). Далее, найдя диагонали и стороны ромбов, можно найти отрезки A""M и D""M с помощью, например, двух формул для площади ромба

Примечание: Безусловно, в этой и аналогичных задачах никакие размеры многогранника (например, "a") не нужны, поэтому при подборе численных значений параметра "k" для различных вариантов задачи содержание ее условия в соответствующем месте должно формулироваться, например, так: "... в призме, у которой высота во столько-то раз больше стороны основания...", и т. д.

3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5

Задача №1.

MsoNormalTable">

№1 Решение задачи первым способом предполагает:
- непростое обоснование того, что искомый перпендикуляр (h скр.) с концами на двух данных скрещивающихся прямых располагается внутри куба (а не вне его);
- ориентировочное определение местоположения этого перпендикуляра;
- догадку о том, что для нахождения длины отрезка h скр. необходимо с помощью теоремы о трех перпендикулярах спроектировать его на смежные грани куба, которым принадлежат скрещивающиеся прямые (диагонали) а уже затем подойти к несложному решению:

2. Решение задачи вторым способом предполагает следующие действия:
- построение в кубе секущей плоскости, параллельной одной из прямых A"C"; так как АС параллельна A"C", то A"C" параллельна плоскости ACD" по признаку параллельности прямой плоскости;
- отыскание внутри куба прямой, перпендикулярной секущей плоскости; здесь требуется догадка и обоснование того, что такой прямой является главная диагональB"D (АС перпендикулярна ВД и, так как ВД является проекцией наклонной В"D на плоскость основания АВСД, то по теореме о трех перпендикулярах получаем АС перпендикулярна В"D ; аналогично устанавливается, что CD" перпендикулярна B"D и, так как получили перпендикулярность главной диагонали В"D двум непараллельным прямым АС и СD" , принадлежащим плоскости сечения АСD" , то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости:B"D перпендикулярна плоскости ACD");

Построение еще одной секущей плоскости, проходящей через диагональ В"D и пересекающей вторую из скрещивающихся прямых A"C"; этой плоскостью удобно выбрать диагональное сечение BB"D"D этому признаку перпендикулярности двух плоскостей плоскости BB"D"D перпендикулярна плоскости ACD", так как плоскость BB"D"D проходит через прямую (B"D), перпендикулярную другой плоскости (ACD"). Далее строиться линия пересечения обоих плоскостей по 2 их общим точкам (D"O) и фиксируется пересечением этой линии диагональю B"D (точка N);
-и наконец, по теореме о том, что если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой, из точки O" принадлежит A"C" проводим в плоскости сечения BB"D"D до пересечения с D"O отрезок O"M параллелен B"D; при этом будет O"M перпендикулярен плоскости ACD" и потому O"M = h скр.;
- затем в вычислительной части решения, рассмотрев сечение BB"D'D и в нем - прямоугольный треугольник OO'D', находим: Как видим, оба первых способа малопригодны для задач, представляющих хотя бы какую-то сложность

3. Решение задачи третьим способом предполагает :
- построение параллельных двух секущих плоскостей, содержащих две заданные скрещивающиеся прямые, - с помощью пересекающихся пар соответственно параллельных прямых (BC' параллельна AD' u AC параллельна A'C' => плоскость A'BC' параллельна плоскости ACD')
- отыскание и построение прямой, перпендикулярной одной из двух построенных секущих плоскостей (главная диагональ B'D перпендикулярна плоскости ACD' - доказательство приведено в предыдущем способе решения зада
- отыскание и построение точек пересечения указанной прямой (В'D) с обеими секущими параллельными плоскостями,- для чего необходимо построение любой третьей секущей плоскости(в данном случае, например, BB'D'D) содержащей указанную прямую(B'D), а затем - построение линий пересечения третьей секущей плоскости с первыми двумя (BO' u D'O); зафиксированные таким образом точки М и N т определяют отрезок МN=h скр.

И, наконец, в вычислительной части решения можно воспользоваться приемом из предыдущего способа решения или же прибегнуть к подобию треугольников:

4. Решение задачи четвертым способом предполагает:
-отыскание и построение такой секущей плоскости(в данном случае - BB'D'D), которая перпендикулярна одной из скрещивающихся прямых (A'C' перпендикулярен BB'D'D - так как A'C' перпендикулярен B'D' и DD' перпендикулярен плоскости A'B'C'D' => DD' перпендикулярен A'C', т. е. A'C' перпендикулярна двум непараллельным прямым, принадлежащим секущей плоскости) и на которую указанная прямая (A'C') проектируется в точку (O'); причем при выборе секущей плоскости желательно, чтобы хотя бы один из концов отрезка второй прямой принадлежал этой секущей плоскости;
- построение проекции второй прямой на эту секущую плоскость, - для чего из концов отрезка этой прямой (в данном случае из точки А) перпендикуляры на эту плоскость (в данном случае АО) проводятся параллельно первой из скрещивающихся прямых (АО параллельна A'C');
- после построения проекции D'O к ней в плоскости сечения BB'D'D проводится перпендикуляр O'M из первоначально полученной точки O' - проекции первой прямой на ту же секущую плоскость; получаем O'M = h скр.;
- и, наконец, в вычислительной части решения можно воспользоваться уже известным приемом нахождения высоты к гипотенузе прямоугольного треугольника (OO'D'):h скр

Задача №3.

В данной задаче для выбора способа решения определяющим является перпендикулярность прямой АС диагональной плоскости ВB'D'D (т. к. АС перпендикулярна ВD и АС перпендикулярна BB'), которой принадлежит другая прямая B'F, т. е. секущая плоскость BB'D'D удобна для выбора ее в качестве плоскости проекции. А далее следует несложная вычислительная часть:
1). Иэ подобия треугольника DFT и треугольника D'FB' находим DT = kd;
2). Из подобия треугольника NOT и треугольника BB'T находим ON:

Задача №4.

Данная задача представлена здесь для демонстрации применения второго способа (построение перпендикуляра от первой прямой к параллельной плоскости, содержащей вторую прямую) к простейшим ситуациям расположения скрещивающихся прямых в таком непростом многограннике, каким является правильная шестиугольная призма.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image077_33.gif" width="186" height="87 src=">

Задача №5.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image079_29.gif" width="347" height="326 src=">

5. Сечения.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5 №6

Задача №1.

По всяком случае, точки А, В и С лежат в одной плоскости, и поэтому можно рассмотреть сечение плоскостью, содержащей эти точки. Так как плоскость сечения проходит через точку касания сфер (сферы плоскости), и сечении получаются касающиеся окружности (окружность и прямая). Пусть О' и 0'' - центры первой и второй окружностей. Так как О'А || 0''В и точки O', С и 0'' лежат па одной прямой, угол АО'С = углу ВО''С. Поэтому угол АСО' = углу ВСО'', т. е. точки А, В и С лежат на одной прямой.

Задача №2.

Осевое сечение данного усеченного конуса является описанной трапецией АВСD с основаниями АD = 2R и ВС = = 2r. Пусть Р - точка касания вписанной окружности со стороной АВ, О - центр вписанной окружности. В треугольнике АВО сумма углов при вершинах А и В равна 90°, поэтому он прямоугольный. Следовательно, АР: РО - РО: ВР, т. е. РО'2 = АР*ВР. Ясно также, что АР = R и ВР = r. Поэтому радиус РО вписанной в конус сферы равен квадратному корню из произведения R и r, а значит, S = 4п(R2 + Rr+ r2). Выражая объем данного усеченного конуса по формулам, получаем, что площадь его полной поверхности равна 2п(R2 + Rr+ r2) = S/2 (нужно учесть, что высота усеченного конуса равна удвоенному радиусу сферы, около которой он описан).

Задача №3.

Общий перпендикуляр к данным ребрам делится параллельными им плоскостями граней куба на отрезки длиной у, х и г (х - длина ребра куба; отрезок длиной у прилегает к ребру а). Плоскости граней куба, параллельные данным ребрам, пересекают тетраэдр по двум прямоугольникам. Меньшие стороны этих прямоугольников равны ребру куба х. Так как стороны этих прямоугольников легко вычисляются, получаем х = bу/с и х = az/с. Следовательно, с=х+у+г=х+сх/b + еx/а, т. е. х=аЬс/(аb + bс + сa).

Задача №4.

Каждая сторона полученного многоугольника принадлежит одной из граней куба, поэтому число его сторон не превосходит 6. Кроме того, стороны, принадлежащие противоположным граням куба, параллельны, так как линии пересечения плоскости с двумя параллельными плоскостями параллельны. Следовательно, сечение куба не может быть правильным пятиугольником, так как у того нет параллельных сторон. Легко проверить, что правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник могут быть сечениями куба.

Задача №5.

Рассмотрим некоторый круг, являющийся сечением данного тела, и проведем через его центр прямую l, перпендикулярную его плоскости. Эта прямая пересекает данное тело по некоторому отрезку АВ. Все сечения, проходящие через прямую l являются кругами с диаметром АВ.

Задача №6.

Рассмотрим произвольное сечение, проходящее через вершину А. Это сечение является треугольником АВС, причем его стороны АВ и АС являются образующими конуса, т. с. имеют постоянную длину. Поэтому площадь сечения пропорциональна синусу угла ВАС. Угол ВАС изменяется от 0° до ф,

MsoNormalTable">

Задача №2.

Рассмотрим куб, вершины которого расположены в вершинах додекаэдра. В нашей задаче речь идет о проекции на плоскость, параллельную грани этого куба. Теперь легко убедиться, что проекцией додекаэдра действительно является шестиугольник (рис. 70).

Задача №3.

а) Рассматриваемая проекция икосаэдра переходит в себя при повороте на З6° (при этом проекции верхних граней переходят в проекции нижних граней). Следовательно, она является правильным 10-угольнлком (рис. 71, а).

б) Рассматриваемая проекция додекаэдра является 12-угольником, переходящим в себя при повороте на 60° (рис. 71. б). Половина его сторон является проекциями ребер, параллельных плоскости проекции, а другая половина сторон - проекциями ребер, не параллельных плоскости проекции. Следовательно, этот 12-угольник неправильный.

MsoNormalTable">

Задача №4.

Существует. Середины указанных на рис. 72 ребер куба являются вершинами правильного шестиугольника. Это следует из того, что стороны этого шестиугольника параллельны сторонам правильного треугольника PQR, а их длины вдвое меньше длин сторон этого треугольника.

Задача №6.

Существует. Возьмем три пятиугольные грани о общей вершиной А и рассмотрим сечение плоскостью, пересекающей эти грани и параллельной плоскости, в которой лежат три попарно общие вершины рассматриваемых граней (рис. 74). Это сечение является шестиугольником с попарно параллельными противоположными сторонами. При повороте на 120° относительно оси, проходящей через вершину А и перпендикулярной секущей плоскости, додекаэдр и секущая плоскость переходят в себя. Поэтому сечение является выпуклым шестиугольником с углами 120°, длины сторон которого, чередуясь, принимают два значения. Для того чтобы этот шестиугольник был правильный, достаточно, чтобы эти два значения были равны. Когда секущая плоскость движется от одного своего крайнего положения до другого, удаляясь от вершины А, первое из этих значений возрастает от 0 до d, а второе убывает от d до а, где а - длина ребра додекаэдра. (d - длина диагонали грани (d больше а). Поэтому в некоторый момент эти значения равны, т. е. сечение является правильным шестиугольником.

Задача №7.

Нет, не верно. Рассмотрим проекцию икосаэдра на плоскость АВС. Она является правильным шестиугольником (см. рис.69). Поэтому рассматриваемое сечение было бы правильным шестиугольником, лишь если бы все 6 вершин, соединенных ребрами с точками А, В и С (и отличных от А, В и С), лежали в одной плоскости. Но, как легко убедиться, это неверно (иначе получилось бы, что все вершины икосаэдра расположены на трех параллельных плоскостях).

ЗАДАЧИ

2. Использование свойств подобных треугольников.

Решение задачи

№1 №2 №3 №4 №5

Задача №1.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image055_46.gif" width="605" height="254">

2-ой случай

Задача №2.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image058_41.gif" width="683" height="260 src=">

Задача №3.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image060_43.gif" width="570" height="264 src=">

Задача №4.

https://pandia.ru/text/78/375/images/image063_41.gif" width="341" height="107 src=">right">

История начертательной геометрии

Определения многогранников

III. Методы построения сечений многогранников

3.1 Построение сечений многогранников на основе системы аксиом стереометрии

3.2 Метод следов в построении плоских сечений многогранников

3.3 Метод внутреннего проектирования в построении плоских сечений многогранников

3.4 Комбинированный метод в построении плоских сечений многогранников

IV. Заключение

V. Литература

Существует 2 основных метода построения сечений многогранников:

Аксиоматический метод построения сечений

1. Метод следов

Решение.

Пример 2.

Решение.

в)

Комбинированный метод построения сечений

Пример№1.

Решение

1. Построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельную другой заданной прямой.

Пример№2.

Решение:

а)

б)

Пример 3.

а)

б)

в)

Замечание: Наметим кратко ход решения примера 3,в, при котором на первой заданной прямой была взята точка Q, а не точка P (рисунок 22).

2. Построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.

П р и м е р 4.

Решение. a)

б)

в)

П р и м е р 5.

Р е ш е н и е.

б)

a)

Нахождение площади сечения в многогранниках.

Использование свойств подобных треугольников.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно воспользоваться четырьмя основными способами:

Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.

Сечения.

Отношение объемов частей многогранника.

Проекции и сечения правильных многогранников.

Ответы к задачам по темам:

4. Угол между плоскостями.

5. Сечения

6. Отношение объемов частей многогранника.

7. Проекции и сечения правильных многогранников.

1. Нахождение площади сечения в многогранниках.

2. Использование свойств подобных треугольников.

3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многограннике.

5. Сечения.

ЗАДАЧИ

2. Использование свойств подобных треугольников.