(числа Фибоначчи, англ. Fibonacci sequence, Fibonacci numbers) – ряд чисел, выведенный известным математиком Фибоначчи. Имеет следующий вид: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 и др.
История ряда Фибоначчи
Леонардо из Пизы (Фибоначчи) пришел в математику из-за практической потребности в установлении деловых контактов. В молодости Фибоначчи много путешествовал, сопровождал отца в разных деловых поездках, что позволяло ему общаться с местными учеными.
Ряд чисел, который сегодня носит его имя, был выведен благодаря проблеме с кроликами, которую автор изложил в книге под названием «Liber abacci» (1202 год): один человек посадил в загон, со всех сторон окруженный стеной, пару кроликов. Вопрос: сколько пар кроликов может произвести эта пара за год, если известно, что ежемесячно, начиная со второго месяца, каждая пара производит на свет еще одну пару кроликов.
В итоге Фибоначчи определил, что число пар кроликов в каждый из последующих двенадцати месяцев будет соответственно:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Где каждое последующее число - это сумма двух предыдущих. Это ряд (числа) Фибоначчи. Данная последовательность имеет множество свойств, интересных с математической точки зрения. Например, если разделить линию на 2 сегмента таким образом, чтобы соотношение между меньшим и большим сегментом было пропорционально соотношению между большим сегментом и всей линией, получится коэффициент пропорциональности, известный как «золотое сечение». Он приблизительно равен 0,618. Ученые эпохи Возрождения считали, что именно эта пропорция, если ее соблюдать в архитектурных сооружениях, способна больше всего радовать глаз.
Применение ряда Фибоначчи
Ряд Фибоначчи нашел широкое применение в самых разных областях науки и жизни. Например, в природе: в строении ураганов, раковин и даже галактик. Не стал исключением и валютный рынок Форекс, где последовательный ряд чисел стал использоваться для прогнозирования трендов. Следует отметить, что между этими числами есть неизменные отношения. Например, как упоминалось выше, отношение предыдущего числа к следующему асимптотически стремится к 0,618 (золотое сечение). Отношения некоторого числа к предыдущему также стремится к величине 0,618.
Помимо прогнозирования трендов, числа Фибоначчи на Форекс используются для прогноза направления движения цены. Например, разворот тренда по золотому сечению происходит на уровне около 61,8% от предыдущего изменения цены (см. рис. 1). Соответственно, самым выгодным вариантом в таком случае будет закрытие позиции чуть ниже данного уровня. Опираясь на ряд Фибоначчи можно рассчитывать наиболее выгодные моменты закрытия и открытия сделок.
Также, одним из способов применения последовательных чисел ряда Фибоначчи на рынке Форекс является построение дуг. Выбор центра для такой дуги происходит в точке важного дна или потолка. Радиус дуг рассчитывается при помощи умножения коэффициентов Фибоначчи на значение предыдущего существенного подъема или спада цен.
Выбираемые коэффициенты имеют значения 0.333, 0.382, 0.4, 0.5, 0.6, 0.618, 0.666. Расположение дуг определяет их роль: поддержки или сопротивления. Чтобы получить представление также о времени возникновения движений цены, дуги, как правило, используют совместно со скоростными или веерными линиями.
Принцип их построения аналогичен: нужно выбрать точки прошлых экстремумов и построить горизонтальную линию из вершины первого из них и вертикальную – из вершины второго. Затем следует поделить получившийся вертикальный отрезок на соответствующие коэффициентам части, нарисовать лучи, идущие из первой точки сквозь только что избранные. При использовании отношений 2/3 и 1/3 получаются скоростные линии, при более строгих 0,618, 0,5 и 0,382 – веерные линии. Все они служат линиями поддержки или сопротивления для ценового тренда (см. рис. 2).
Пересечения веерных дуг и линий служат сигналами для определения поворотных точек тренда – как по времени, так и по цене.
(Рис. 2 – Ряд Фибоначчи, построение дуг)
Более волатильные пары валют характеризуются достижением больших уровней Фибоначчи по сравнению с менее волатильными. Максимальные движения фиксируются по парам Доллар/Франк и Фунт/Доллар, затем идут Доллар/Йена и Евро/Доллар.
Использование ряда Фибоначчи на валютном рынке Форекс имеет одну особенность – их можно применять лишь для хороших импульсных движений.
Во вселенной еще много неразгаданных тайн, некоторые из которых ученые уже смогли определить и описать. Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.
Золотое сечение
Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.
В основе его лежит теория о пропорциях и соотношениях делений отрезков, которое было сделано еще древним философом и математиком Пифагором. Он доказал, что при разделении отрезка на две части: X (меньшую) и Y (большую), отношение большего к меньшему будет равно отношению их суммы (всего отрезка):
В результате получается уравнение: х 2 - х - 1=0, которое решается как х=(1±√5)/2.
Если рассмотреть соотношение 1/х, то оно равно 1,618…
Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.
Числа Фибоначчи
Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.
Также ученый привел ряд закономерностей:
- Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.
- Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.
- Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.
Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.
Спираль Архимеда и золотой прямоугольник
Спирали, очень распространенные в природе, были исследованы Архимедом, который даже вывел ее уравнение. Форма спирали основана на законах о золотом сечении. При ее раскручивании получается длина, к которой можно применить пропорции и числа Фибоначчи, увеличение шага происходит равномерно.
Параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением можно увидеть и построив «золотой прямоугольник», у которого стороны пропорциональны, как 1,618:1. Он строится, переходя от большего прямоугольника к малым так, что длины сторон будут равны числам из ряда. Построение его можно сделать и в обратном порядке, начиная с квадратика «1». При соединении линиями углов этого прямоугольника в центре их пересечения получается спираль Фибоначчи или логарифмическая.
История применения золотых пропорций
Многие древние памятники архитектуры Египта возведены с использованием золотых пропорций: знаменитые пирамиды Хеопса и др. Архитекторы Древней Греции широко использовалиих их при возведении архитектурных объектов, таких как храмы, амфитеатры, стадионы. Например, были применены такие пропорции при строительстве античного храма Парфенон, (Афины) и других объектов, которые стали шедеврами древнего зодчества, демонстрирующими гармонию, основанную на математической закономерности.
В более поздние века интерес к золотому сечению поутих, и закономерности были забыты, однако опять возобновился в эпоху Ренессанса вместе с книгой францисканского монаха Л. Пачоли ди Борго «Божественная пропорция» (1509 г.). В ней были приведены иллюстрации Леонардо да Винчи, который и закрепил новое название «золотое сечение». Также были научно доказаны 12 свойств золотой пропорции, причем автор рассказывал о том, как проявляется она в природе, в искусстве и называл ее «принципом построения мира и природы».
Витрувианский человек Леонардо
Рисунок, которым Леонардо да Винчи в 1492 г. проиллюстрировал книгу Витрувия, изображает фигуру человека в 2-х позициях с руками, разведенными в стороны. Фигура вписана в круг и квадрат. Этот рисунок принято считать каноническими пропорциями человеческого тела (мужского), описанными Леонардо на основе изучения их в трактатах римского архитектора Витрувия.
Центром тела как равноудаленной точкой от конца рук и ног считается пупок, длина рук приравнивается к росту человека, максимальная ширина плеч = 1/8 роста, расстояние от верха груди до волос = 1/7, от верха груди до верха головы =1/6 и т.д.
С тех пор рисунок используется в виде символа, показывающего внутреннюю симметрию тела человека.
Термин «Золотое сечение» Леонардо использовал для обозначения пропорциональных отношений в фигуре человека. Например, расстояние от пояса до ступней ног соотносится к аналогичному расстоянию от пупка до макушки так же, как рост к первой длине (от пояса вниз). Эти вычисление делается аналогично соотношению отрезков при вычислении золотой пропорции и стремится к 1,618.
Все эти гармоничные пропорции часто используются деятелями искусства для создания красивых и впечатляющих произведений.
Исследования золотого сечения в 16-19 веках
Используя золотое сечение и числа Фибоначчи, исследовательскую работу по вопросу о пропорциях продолжают уже не одно столетие. Параллельно с Леонардо да Винчи немецкий художник Альбрехт Дюрер также занимался разработкой теории правильных пропорций тела человека. Для этого им даже был создан специальный циркуль.
В 16 в. вопросу о связи числа Фибоначчи и золотого сечения были посвящены работы астронома И. Кеплера, который впервые применил эти правила для ботаники.
Новое «открытие» ожидало золотое сечение в 19 в. с опубликованием «Эстетического исследования» немецкого ученого профессора Цейзига. Он возвел эти пропорции в абсолют и объявил о том, что они универсальны для всех природных явлений. Им были проведены исследования огромного количества людей, вернее их телесных пропорций (около 2 тыс.), по итогам которых сделаны выводы о статистических подтвержденных закономерностях в соотношениях различных частей тела: длины плеч, предплечий, кистей, пальцев и т.д.
Были исследованы также предметы искусства (вазы, архитектурные сооружения), музыкальные тона, размеры при написании стихотворений — все это Цейзиг отобразил через длины отрезков и цифры, он же ввел термин «математическая эстетика». После получения результатов выяснилось, что получается ряд Фибоначчи.
Число Фибоначчи и золотое сечение в природе
В растительном и животном мире существует тенденция к формообразованию в виде симметрии, которая наблюдается в направлении роста и движения. Деление на симметричные части, в которых соблюдаются золотые пропорции, — такая закономерность присуща многим растениям и животным.
Природа вокруг нас может быть описана с помощью чисел Фибоначчи, например:
- расположение листьев или веток любых растений, а также расстояния соотносятся с рядом приведенных чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и далее;
- семена подсолнуха (чешуя на шишках, ячейки ананаса), располагаясь двумя рядами по закрученным спиралям в разные стороны;
- соотношение длины хвоста и всего тела ящерицы;
- форма яйца, если провести линию условно через широкую его часть;
- соотношение размеров пальцев на руке человека.
И, конечно, самые интересные формы представляют закручивающиеся по спирали раковины улиток, узоры на паутине, движение ветра внутри урагана, двойная спираль в ДНК и структура галактик — все они включают в себя последовательность чисел Фибоначчи.
Использование золотого сечения в искусстве
Исследователи, занимающиеся поиском в искусстве примеров использования золотого сечения, подробно исследуют различные архитектурные объекты и произведения живописи. Известны знаменитые скульптурные работы, создатели которых придерживались золотых пропорций, — статуи Зевса Олимпийского, Аполлона Бельведерского и
Одно из творений Леонардо да Винчи — «Портрет Моны Лизы» — уже многие годы является предметом исследований ученых. Ими было обнаружено, что композиция работы целиком состоит из «золотых треугольников», объединенных вместе в правильный пятиугольник-звезду. Все работы да Винчи являются свидетельством того, насколько глубоки были его познания в строении и пропорциях тела человека, благодаря чему он и смог уловить невероятно загадочную улыбку Джоконды.
Золотое сечение в архитектуре
В качестве примера ученые исследовали шедевры архитектуры, созданные по правилам «золотого сечения»: египетские пирамиды, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Пари, храм Василия Блаженного и др.
Парфенон — одно из красивейших зданий в Древней Греции (5 в. до н.э.) — имеет 8 колонн и 17 по разным сторонам, отношение его высоты к длине сторон равно 0,618. Выступы на его фасадах сделаны по «золотому сечению» (фото ниже).
Одним из ученых, который придумал и успешно применял усовершенствование модульной системы пропорций для архитектурных объектов (так называемый «модулор»), — был французский архитектор Ле Корбюзье. В основу модулора положена измерительная система, связанная с условным делением на части человеческого тела.
Русский архитектор М. Казаков, построивший несколько жилых домов в Москве, а также здания сената в Кремле и Голицынской больницы (сейчас 1-я Клиническая им. Н. И. Пирогова), — был одним из архитекторов, которые использовали при проектировании и строительстве законы о золотом сечении.
Применение пропорций в дизайне
В дизайне одежды все модельеры делают новые образы и модели с учетом пропорций человеческого тела и правил золотого сечения, хотя от природы не все люди имеют идеальные пропорции.
При планировании ландшафтного дизайна и создании объемных парковых композиций с помощью растений (деревьев и кустарников), фонтанов и малых архитектурных объектов также могут применяться закономерности «божественных пропорций». Ведь композиция парка должна быть ориентирована на создание впечатления на посетителя, который свободно сможет ориентироваться в нем и находить композиционный центр.
Все элементы парка находятся в таких соотношениях, чтобы с помощью геометрического строения, взаиморасположения, освещения и света, произвести на человека впечатление гармонии и совершенства.
Применение золотого сечения в кибернетике и технике
Закономерности золотого сечения и чисел Фибоначчи проявляются также в переходах энергии, в процессах, происходящих с элементарными частицами, составляющих химические соединения, в космических системах, в генной структуре ДНК.
Аналогичные процессы происходят и в организме человека, проявляясь в биоритмах его жизни, в действии органов, например, головного мозга или зрения.
Алгоритмы и закономерности золотых пропорций широко используются в современной кибернетике и информатике. Одна из несложных задач, которую дают решать начинающим программистам, — написать формулу и определить, сумму чисел Фибоначчи до определенного числа, используя языки программирования.
Современные исследования теории о золотой пропорции
Начиная с середины 20 века, интерес к проблемам и влиянию закономерностей золотых пропорций на жизнь человека, резко возрастает, причем со стороны многих ученых различных профессий: математиков, исследователей этноса, биологов, философов, медицинских работников, экономистов, музыкантов и др.
В США с 1970-хгодов начинает выпускаться журнал The Fibonacci Quarterly, где публикуются работы на эту тему. В прессе появляются работы, в которых обобщенные правила золотого сечения и ряда Фибоначчи используют в различных отраслях знаний. Например, для кодирования информации, химических исследований, биологических и т.д.
Все это подтверждает выводы древних и современных ученых о том, что золотая пропорция многосторонне связана с фундаментальными вопросами науки и проявляется в симметрии многих творений и явлений окружающего нас мира.
Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.
Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.
Очевидно, что
фермер имеет одного кролика в первый
месяц и одного кролика – во второй
месяц. На третий месяц будет уже два
кролика, на четвертый – три и т.д.
Обозначим количество кроликов в n
месяце как
.
Таким образом,
,
,
,
,
,
…
Можно построить
алгоритм, позволяющий найти
при любомn
.
Согласно условию
задачи общее количество кроликов
вn
+1
месяце раскладывается на три составляющие:
одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве
;
Таким образом, получим
. (8.1)
Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …
Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи .
Если
принять
и
,
то с помощью формулы (8.1) можно определить
все остальные числа Фибоначчи. Формула
(8.1) называется рекуррентной
формулой (recurrence
– «возвращение» на латыни).
Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?
Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.
В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Для
того чтобы ответить на заданный вопрос
при произвольном n
,
обозначим количество вариантов как
,
и попробуем определить
по известным
и
.
Если мы стартуем с единичного шага, то
имеем
комбинаций для оставшихсяn
ступенек. Если стартуем с двойного шага,
то имеем
комбинаций для оставшихсяn
–1
ступенек. Общее количество вариантов
для n
+1
ступенек равно
. (8.2)
Полученная
формула как близнец напоминает формулу
(8.1). Тем не менее, это не позволяет
отождествлять количество комбинаций
с числами Фибоначчи
.
Мы видим, например, что
,
но
.
Однако имеет место следующая зависимость:
.
Это
справедливо для n
= 1, 2, и также справедливо для каждого n
.
Числа Фибоначчи и количество комбинаций
вычисляются по одной и той же формуле,
однако начальные значения
,
и
,
у них различаются.
Пример 8.2.
Этотпример имеет
практическое
значение для задач помехоустойчивого
кодирования. Найдем число всех двоичных
слов длины n
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Обозначим это число через
.
Очевидно,
,
а слова длины 2, удовлетворяющие нашему
ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е.
.
Пусть
– такое слово изn
символов. Если символ
,
то
может быть произвольным (
)-буквенным
словом, не содержащим несколько нулей
подряд. Значит, число слов с единицей
на конце равно
.
Если же символ
,
то обязательно
,
а первые
символа
могут быть произвольными с учетом
рассматриваемых ограничений. Следовательно,
имеется
слов длины
n
с нулем на конце. Таким образом, общее
число интересующих нас слов равно
.
С учетом того, что
и
,
полученная последовательность чисел
– это числа Фибоначчи.
Пример 8.3.
В
примере 7.6 мы нашли, что число двоичных
слов постоянного веса t
(и длиной k
)
равно
.
Теперь найдем число двоичных слов
постоянного весаt
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Рассуждать можно
так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах.
В любом слове имеется
промежутков между ближайшими нулями,
в каждом из которых находится одна или
несколько единиц. Предполагается, что
.
В противном случае нет ни одного слова
без рядом стоящих нулей.
Если из каждого
промежутка удалить ровно по одной
единице, то получим слово длины
,
содержащее
нулей. Любое такое слово может быть
получено указанным образом из некоторого
(и притом только одного)k
-буквенного
слова, содержащего
нулей, никакие два из которых не стоят
рядом. Значит, искомое число совпадает
с числом всех слов длины
,
содержащих ровно
нулей, т.е. равно
.
Пример 8.4.
Докажем,что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого
.
Символ
обозначаетнаименьшее
целое число, большее или равное
.
Например, если
,
то
;
а если
,
то
ceil
(«потолок»). Также встречается символ
,
который обозначаетнаибольшее
целое число, меньшее или равное
.
По-английски эту операцию называютfloor
(«пол»).
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:
.
И оно действительно выполняется:
Здесь мы использовали
полученную ранее формулу (4.4):
.
Сумма чисел Фибоначчи
Определим сумму первых n чисел Фибоначчи.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Легко заметить, что прибавлением к правой части каждого уравнения единицы мы снова получаем число Фибоначчи. Общая формула для определения суммы первых n чисел Фибоначчи имеет вид:
Докажем это, используя метод математической индукции. Для этого запишем:
Эта
сумма должна быть равна
.
Сократив левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение (6.1).
Формула для чисел Фибоначчи
Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле
.
Доказательство . Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:
Мы
видим, что отношение этих чисел колеблется
около значения 1.618 (если игнорировать
несколько первых значений). Этим свойством
числа Фибоначчи напоминают члены
геометрической прогрессии. Примем
,
(
).
Тогда выражение
преобразуется в
которое после упрощений выглядит так
.
Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:
Теперь можем записать:
(где
c
является константой). Оба члена 
и
не дают чисел Фибоначчи,
например
,
в то время как
.
Однако разность 
удовлетворяет
рекуррентному уравнению:
Для
n
=0
эта разность дает
,
то есть: 
.
Однако при n
=1
мы имеем 
.
Чтобы получить
,
необходимо принять:
.
Теперь
мы имеем две последовательности: 
и 
,
которые начинаются с одинаковых двух
чисел и удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле. Они должны быть
равны: 
.
Теорема доказана.
При
возрастании n
член
становится очень большим, в то время
как
,
и роль члена
в разности сокращается.
Поэтому при больших n
приближенно можем записать
.
Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).
Отношение
называется золотым
сечением
,
его используют за пределами математики
(например, в скульптуре и архитектуре).
Золотым сечением является отношение
между диагональю и стороной правильного
пятиугольника
(рис. 8.1).
Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали
Для обозначения
золотого сечения принято использовать
букву
в честь известного афинского скульптора
Фидия.
Простые числа
Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на два класса. К первому относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, единицу и самого себя, ко второму – все остальные. Числа первого класса называют простыми , а второго – составными . Простые числа в пределах первых трех десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучалась Евклидом (3 век до нашей эры). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает. На первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е. меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше 8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число бесконечно.
Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (так называемые простые близнецы ), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.
Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причем каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Таким образом, простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда.
Изучение распределения
простых чисел привело к созданию
алгоритма, позволяющего получать таблицы
простых чисел. Таким алгоритмом является
решето
Эратосфена
(3 век до нашей эры). Этот метод заключается
в отсеивании (например, путем зачеркивания)
тех целых чисел заданной последовательности
,
которые делятся хотя бы на одно из
простых чисел, меньших
.
Теорема 8 . 2 . (теорема Евклида). Число простых чисел бесконечно .
Доказательство . Теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел докажем способом, предложенным Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам p :
при
.
Это произведение сходится, и если его
раскрыть, то в силу однозначности
разложения натуральных чисел на простые
сомножители получается, что оно равняется
сумме ряда
,
откуда следует тождество Эйлера:
.
Так как при
ряд справа расходится (гармонический
ряд), то из тождества Эйлера следует
теорема Евклида.
Русский математик
П.Л. Чебышев (1821–1894) вывел формулу,
определяющую пределы, в которых заключено
число простых чисел
,
не превосходящихX
:
,
где
,
.
Каналиева Дана
В данной работе мы изучили и проанализировали проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Мы обнаружили удивительную математическую связь между числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и числами последовательности Фибоначчи. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа, дыхательная система, строение уха - всё подчиняется определённым числовым соотношениям.
Мы убедились, что у Природы есть свои законы, выраженные с помощью математики.
И математика очень важный инструмент познания тайн Природы.
Скачать:
Предварительный просмотр:
МБОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»
Оренбургского района Оренбургской области
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
«Загадка чисел
Фибоначчи»
Выполнила: Каналиева Дана
ученица 6 класса
Научный руководитель:
Газизова Валерия Валерьевна
Учитель математики высшей категории
п. Экспериментальный
2012г
Пояснительная записка……………………………………………………………………........ 3.
Введение. История чисел Фибоначчи.……………………………………………………...... 4.
Глава 1. Числа Фибоначчи в живой природе.......……. …………………………………... 5.
Глава 2. Спираль Фибоначчи.......................................................……………..... 9.
Глава 3. Числа Фибоначчи в изобретениях человека.........…………………………….. 13
Глава 4. Наши исследования……………………………………………………………….... 16.
Глава 5. Заключение, выводы……………………………………………………………...... 19.
Список используемой литературы и сайтов Интернета…………………………………........21.
Объект исследования:
Человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека, окружающий растительный и животный мир.
Предмет исследования:
форма и строение исследуемых предметов и явлений.
Цель исследования:
изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов,
найти примеры использования чисел Фибоначчи.
Задачи работы:
Описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи.
Увидеть математические закономерности, в строении человека, растительного мира и неживой природы с точки зрения феномена Золотого сечения.
Новизна исследования:
Открытие чисел Фибоначчи в окружающей нас действительности.
Практическая значимость:
Использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении других школьных предметов.
Умения и навыки:
Организация и проведение эксперимента.
Использование специальной литературы.
Приобретение умения делать обзор собранного материала (доклад, презентацию)
Оформление работы рисунками, диаграммами, фотографиями.
Активное участие в обсуждении своей работы.
Методы исследования:
эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).
теоретический (логическая ступень познания).
Пояснительная записка.
«Числа управляют миром! Число - это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние пифагорейцы. Актуальна ли в наши дни эта основа учения Пифагора? Изучая в школе науку чисел, нам хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям, найти эту невидимую связь между математикой и жизнью!
Неужели в каждом цветочке,
И в молекуле, и в галактике,
Числовые закономерности
Этой строгой «сухой» математики?
Мы обратились к современному источнику информации - к Интернету и прочитали о числах Фибоначчи, о магических числах, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого сердца и в музыкальных ритмах...
Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире?
Мы захотели узнать о тайнах чисел Фибоначчи. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.
Гипотеза:
в окружающей нас действительности всё построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.
Всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером - Природой!
Введение. История ряда Фибоначчи.
Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики, способствовал передаче их на Запад. В одном из своих трудов под названием «Книга вычислений» он представил Европе одно из величайших открытий всех времён и народов - десятичную систему счисления.
Однажды, он ломал голову над решением одной математической задачи. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность размножения кроликов.
Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.
«Ну и что?» - скажете вы, - «Мали ли мы сами можем придумать подобных числовых рядов, нарастающих по заданной прогрессии?» Действительно, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания!
Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его. Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой ряд.
В числах Фибоначчи существует интересная особенность: частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне именуется как золотое сечение или золотая пропорция.
В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)
Итак, φ = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
Сколько бы раз мы не делили одно на другое, соседнее с ним число, мы всегда получим 1, 618. А если сделаем наоборот, то есть разделим меньшее число на большее, то получим 0, 618, это число, обратное к 1, 618, тоже называется золотой пропорцией.
Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления.
Учёные, анализируя дальнейшее применение этого числового ряда к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке.
Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом Вселенной.
Рассмотрим примеры, где встречаются числа Фибоначчи в живой и неживой природе.
Числа Фибоначчи в живой природе.
Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и закон золотого сечения .
Если вы зададитесь целью отыскать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений. Например, черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями: полного оборота - у орешника, - у дуба, - у тополя и груши, - у ивы.
Семена подсолнечника, эхинацеи пурпурной и многих других растений, расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления - числа Фибоначчи.
Подсолнечник, 21 и 34 спирали. Эхинацея, 34 и 55 спиралей.
Чёткая, симметричная форма цветов также подчинена строгому закону .
У многих цветов количество лепесточков - именно числа из ряда Фибоначчи. Например:
ирис, 3леп. лютик, 5 леп. златоцвет, 8 леп. дельфиниум,
13 леп.
цикорий,21леп. астра, 34 леп. маргаритки,55леп.
Ряд Фибоначчи характеризует структурную организацию многих живых систем.
Мы уже говорили, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число φ = 1,618. Оказывается, что и сам человек - просто кладезь числа фи.
Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы.
M/m=1,618
Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.
Рука человека
Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.
Золотая пропорция в строении легких человека
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.
Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.
Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.
Есть и другое, более прозаическое применение пропорций тела человека. Например, используя эти соотношения, криминальные аналитики и археологи по фрагментам частей человеческого тела восстанавливают облик целого.
Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.
Все сведения о физиологических особенностях живых существ, будь то растение, животное или человек, хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).
Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.
Не только прямоходящие, но и все плавающие, ползающие, летающие и прыгающие не избежали участи подчиняться числу фи. Сердечная мышца человека сокращается до 0, 618 своего объёма. Строение ракушки улитки соответствует пропорциям Фибоначчи. И таких примеров можно найти предостаточно - было бы желание исследовать природные объекты и процессы. Мир настолько пронизан числами Фибоначчи, что порой кажется: только ими Вселенная и может быть объяснена.
Спираль Фибоначчи.
В математике нет иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами, как спираль, потому, что
в основе строения спирали лежит правило Золотого сечения!
Чтобы понять математическое построение спирали, повторим, что такое Золотое сечение.
Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей, или, другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
То есть (a+b) /a = a / b
Прямоугольник с именно таким отношением сторон стали называть золотым прямоугольником. Его длинные стороны соотносятся с короткими сторонами в соотношении 1,168: 1.
Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника,
мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров.
Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов.
Например, спиралевидную форму можно увидеть и в расположении семян подсолнечника, в ананасах, кактусах, строении лепестков роз и так далее.
Нас удивляет и восхищает спиральное строение ракушек.
У большинства улиток, которые обладают раковинами, раковина растет в форме спирали. Однако нет сомнения, что эти неразумные существа не имеют представления не только о спирали, но не обладают даже простейшими математическими знаниями, чтобы самим создать себе спиралевидную раковину.
Но тогда как же эти неразумные существа смогли определить и избрать для себя идеальную форму роста и существования в виде спиральной раковины? Могли ли эти живые существа, которых ученых мир называет примитивными формами жизни, рассчитать, что идеальной для их существования будет спиральная форма ракушки?
Пытаться объяснить происхождение подобной даже самой примитивной формы жизни случайным стечением неких природных обстоятельств по меньшей мере абсурдно. Совершенно ясно, что этот проект является осознанным творением.
Спирали есть и в человеке. С помощью спиралей мы слышим:
Также, во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и сотворена в форме улитки, имеющей в себе золотые пропорции.
Спирали есть на наших ладошках и пальцах:
В животном мире мы также можем найти множество примеров спиралей.
В форме спирали развиваются рога и бивни животных, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.
Интересно, что спиралью закручивается ураган, облака циклона и это хорошо видно из космоса:
В океанских и морских волнах спираль можно математически отразить на графике с точками 1,1,2,3,5,8,13,21,34 и 55.
Такую «бытовую» и «прозаическую» спираль тоже все узнают.
Ведь вода убегает из ванной по спирали:
Да и живём мы с вами в спирали, ведь галактика - это спираль, соответствующая формуле Золотого сечения!
Итак, мы выяснили, что если взять Золотой прямоугольник и разбить его на более мелкие прямоугольники в точной последовательности Фибоначчи, а потом каждый из них разделить в таких пропорциях еще и еще, то получится система, которая называется спираль Фибоначчи.
Эту спираль мы обнаружили в самых неожиданных предметах и явлениях. Теперь понятно, почему спираль называют ещё «кривой жизни».
Спираль стала символом эволюции, ведь и развивается всё именно по спирали.
Числа Фибоначчи в изобретениях человека.
Подсмотрев у природы закон, выраженный последовательностью чисел Фибоначчи, учёные и люди искусства стараются подражать ему, воплощать этот закон в своих творениях.
Пропорция фи позволяет создавать шедевры живописи, грамотно вписывать в пространство архитектурные сооружения.
Не только деятели науки, но и архитекторы, дизайнеры и художники поражаются этой безупречной спирали у ракушки наутилуса,
занимающей наименьшее пространство и обеспечивающей наименьшую потерю тепла. Американские и тайские архитекторы, вдохновленные примером «наутилуса с камерами» в вопросе размещения максимума в минимуме пространства, заняты разработкой соответствующих проектов.
С незапамятных времен пропорция Золотого сечения считается наивысшей пропорцией совершенства, гармонии и даже божественности. Золотое отношение можно обнаружить и в скульптурах, и даже в музыке. Примером являются музыкальные произведения Моцарта. Даже биржевые курсы и алфавит иврита содержат золотое отношение.
Но мы хотим остановиться на уникальном примере создания эффективной солнечной установки. Американский школьник из Нью-Йорка Эйдан Дуайер свёл воедино свои знания о деревьях и обнаружил, что эффективность солнечных электростанций можно повысить, если привлечь математику. Будучи на зимней прогулке, Дуайер задумался, зачем деревьям такой «рисунок» веток и листьев. Он знал, что ветки на деревьях располагаются согласно последовательности Фибоначчи, а листья осуществляют фотосинтез.
В какой-то момент сообразительный мальчуган решил проверить, не помогает ли такое положение ветвей собирать больше солнечного света. Эйдан построил на своём заднем дворе опытную установку с маленькими солнечными батареями вместо листьев и проверил её в действии. Оказалось, что в сравнении с обычной плоской солнечной панелью его «дерево» собирает на 20% больше энергии и на 2,5 часа дольше эффективно работает.
Модель солнечного дерева Дуайера и графики, построенные школьником.
"А ещё такая установка занимает меньше места, чем плоская панель, собирает на 50% больше солнца зимой даже там, где она не смотрит на юг, да и снег в том количестве она не накапливает. Кроме того, дизайн в виде дерева гораздо больше подходит для городского пейзажа", — отмечает юный изобретатель.
Эйдана признали одним из лучших молодых естествоиспытателей 2011 года. Конкурс «2011 Young Naturalist» проводил музей естествознания Нью-Йорка. Эйдан подал предварительную заявку на патент своего изобретения .
Ученые продолжают активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения.
Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта.
Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения.
В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.
Итак, мы видим, что сфера применения последовательности чисел Фибоначчи очень многогранна:
Наблюдая за явлениями, происходящими в природе, учёные сделали поразительные выводы о том, что вся последовательность событий, происходящих в жизни, революции, крушения, банкротства, периоды процветания, законы и волны развития на фондовом и валютных рынках, циклы семейной жизни, и так далее, организуются на временной шкале в виде циклов, волн. Эти циклы и волны тоже распределяются в соответствии с числовым рядом Фибоначчи!
Опираясь на эти знания, человек научится в будущем прогнозировать различные события и управлять ими.
4. Наши исследования.
Мы продолжили наши наблюдения, и изучили строение
Сосновой шишки
тысячелистника
комара
человека
И убедились, что в этих, таких разных на первый взгляд объектах, незримо присутствуют те самые числа последовательности Фибоначчи.
Итак, шаг 1.
Возьмём сосновую шишку:
Рассмотрим её поближе:
Замечаем две серии спиралей Фибоначчи: одна - по часовой стрелки, другая - против, их число 8 и 13.
Шаг 2.
Возьмём тысячелистник:
Внимательно рассмотрим строение стеблей и цветов:
Заметим, что каждая новая ветвь тысячелистника растет из пазухи, и от новой ветви растут новые ветви. Складывая старые и новые ветви, мы нашли число Фибоначчи в каждой горизонтальной плоскости.
Шаг 3.
А проявляются ли числа Фибоначчи в морфологии различных организмов? Рассмотрим всем известного комара:
Видим: 3 пары ног, голове 5 усиков - антенн, брюшко делится на 8 сегментов.
Вывод:
В наших исследованиях мы увидели, что в окружающих нас растениях, живых организмах и даже в строении человека проявляют себя числа из последовательности Фибоначчи, что отражает гармоничность их строения.
Сосновая шишка, тысячелистник, комар, человек устроены с математической точностью.
Мы искали ответ на вопрос: как проявляет себя ряд Фибоначчи в окружающей нас действительности? Но, отвечая на него, получали новые и новые вопросы.
Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Спираль скручивается или раскручивается?
Как удивительно человек познаёт этот мир!!!
Найдя ответ на один вопрос, получает следующий. Разгадает его, получает два новых. Разберётся с ними, появятся ещё три. Решив и их, обзаведётся пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...
Узнаёте?
Заключение.
Самим творцом во все объекты
Заложен уникальный код,
И тот, кто дружен с математикой,
Его познает и поймёт!
Мы изучили и проанализировали проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Также мы узнали, что закономерности этого числового ряда, в том числе и закономерности «Золотой» симметрии, проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.
Мы обнаружили удивительную математическую связь между числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и числами в последовательности Фибоначчи. Мы увидели, как морфология различных организмов тоже подчиняется этому таинственному закону. Также мы увидели строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа, дыхательная система, строение уха, - всё подчиняется определённым числовым соотношениям.
Мы узнали, что сосновые шишки, раковины улиток, волны океана, рога животных, облака циклона и галактики - все они образуют логарифмические спирали. Даже человеческий палец, который составлен из трех фаланг, находящихся по отношению друг к другу в Золотой пропорции, принимает спиральную форму, когда сжимается.
Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остаётся тем же самым: коэффициент 1,618 ! Возможно, это первостепенный закон, управляющий природными явлениями.
Таким образом, наша гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию, подтверждается.
Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером - Природой!
Мы убедились, что у Природы есть свои законы, выраженные с помощью математики. И математика - это очень важный инструмент
для познания тайн природы.
Список литературы и сайтов Интернета:
1.
Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. - М., Наука, 1984.
2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. - М., 1936.
3. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация. // Наука и жизнь, № 5, 2001.
4. Кашницкий С. Е. Гармония, сотканная из парадоксов // Культура и
Жизнь. - 1982.- № 10.
5. Малай Г. Гармония - тождество парадоксов // МН. - 1982.- № 19.
6. Соколов А. Тайны золотого сечения // Техника молодежи. - 1978.- № 5.
7. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. - М., 1984.
8. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. - М., 1974.
9. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа. - 1968.- № 11.
10. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три
Взгляда на природу гармонии.-М., 1990.
11.Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.:
Вы слышали когда-нибудь, что математику называют «царицей всех наук»? Согласны ли вы с таким утверждением? Пока математика остается для вас набором скучных задачек в учебнике, вряд ли можно прочувствовать красоту, универсальность и даже юмор этой науки.
Но есть в математике такие темы, которые помогают сделать любопытные наблюдения за обычными для нас вещами и явлениями. И даже попытаться проникнуть за завесу тайны создания нашей Вселенной. В мире есть любопытные закономерности, которые могут быть описаны с помощью математики.
Представляем вам числа Фибоначчи
Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.
Пример последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Записать это можно так:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2
Можно начинать ряд чисел Фибоначчи и с отрицательных значений n . При этом последовательность в таком случае является двусторонней (т.е. охватывает отрицательные и положительные числа) и стремится к бесконечности в обоих направлениях.
Пример такой последовательности: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Формула в этом случае выглядит так:
F n = F n+1 - F n+2 или иначе можно так: F -n = (-1) n+1 Fn .
То, что мы сейчас знаем под названием «числа Фибоначчи», было известно древнеиндийским математикам задолго до того, как ими стали пользоваться в Европе. А с этим названием вообще один сплошной исторический анекдот. Начнем с того, что сам Фибоначчи при жизни никогда не называл себя Фибоначчи – это имя стали применять к Леонардо Пизанскому только спустя несколько столетий после его смерти. Но давайте обо всем по порядку.
Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи
Сын торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого крупного математика Европы периода Средних веков. Не в последнюю очередь благодаря числам Фибоначчи (которые тогда, напомним, еще так не назывались). Которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год).
Путешествую вместе с отцом на Восток, Леонардо изучал математику у арабских учителей (а они в те времена были в этом деле, да и во многих других науках, одними из лучших специалистов). Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах.
Как следует осмыслив все прочитанное и подключив собственный пытливый ум, Фибоначчи написал несколько научных трактатов по математике, включая уже упомянутую выше «Книгу абака». Кроме нее создал:
- «Practica geometriae» («Практика геометрии», 1220 год);
- «Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);
- «Liber quadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).
Был большим любителем математических турниров, поэтому в своих трактатах много внимания уделял разбору различных математических задач.
О жизни Леонардо осталось крайне мало биографических сведений. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.
Фибоначчи и его задачи
После Фибоначчи осталось большое число задач, которые были очень популярны среди математиков и в последующие столетия. Мы с вами рассмотрим задачу о кроликах, в решении которой и используются числа Фибоначчи.
Кролики – не только ценный мех
Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка) такой интересной породы, что они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.
Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и с увлечением размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.
Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.
- В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов. В конце месяца они спариваются.
- Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).
- Третий месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается. Итого – 3 пары кроликов.
- Четвертый месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается. Итого – 5 пар кроликов.
Число кроликов в n -ый месяц = число пар кроликов из предыдущего месяца + число новорожденных пар (их столько же, сколько пар кроликов было за 2 месяца до настоящего момента). И все это описывается формулой, которую мы уже привели выше: F n = F n-1 + F n-2 .
Таким образом, получаем рекуррентную (пояснение о рекурсии – ниже) числовую последовательность. В которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Продолжать последовательность можно долго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 <…>. Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е. 13-ый член последовательности: 377.
Ответ в задаче: 377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.
Одно из свойств последовательности чисел Фибоначчи очень любопытно. Если взять две последовательные пары из ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к золотому сечению (прочитать о нем подробнее вы сможете дальше в статье).
Говоря языком математики, «предел отношений a n+1 к a n равен золотому сечению» .
Еще задачи по теории чисел
- Найдите число, которое можно разделить на 7. Кроме того, если разделить его на 2, 3, 4, 5, 6, в остатке получится единица.
- Найдите квадратное число. О нем известно, что если прибавить к нему 5 или отнять 5, снова получится квадратное число.
Ответы на эти задачи мы предлагаем вам поискать самостоятельно. Свои варианты вы можете оставлять нам в комментариях к этой статье. А мы потом подскажем, верными ли были ваши вычисления.
Пояснение о рекурсии
Рекурсия – определение, описание, изображение объекта или процесса, в котором содержится сам этот объект или процесс. Т.е., по сути, объект или процесс является частью самого себя.
Рекурсия находит широкое применение в математике и информатике, и даже в искусстве и массовой культуре.
Числа Фибоначчи определяются с помощью рекуррентного соотношения. Для числа n>2 n- е число равно (n – 1) + (n – 2) .
Пояснение о золотом сечении
Золотое сечение – деление целого (например, отрезка) на такие части, которые соотносятся по следующему принципу: большая часть относится к меньшей так же, как и вся величина (например, сумма двух отрезков) к большей части.
Первое упоминание о золотом сечении можно встретить у Евклида в его трактате «Начала» (примерно 300 лет до н.э.). В контексте построения правильного прямоугольника.
Привычный нам термин в 1835 году ввел в оборот немецкий математик Мартин Ом.
Если описывать золотое сечение приблизительно, оно представляет собой пропорциональное деление на две неравных части: примерно 62% и 38%. В числовом выражении золотое сечение представляет собой число 1,6180339887 .
Золотое сечение находит практическое применение в изобразительном искусстве (картины Леонардо да Винчи и других живописцев Ренессанса), архитектуре, кинематографе («Броненосец «Потемкин» С. Эзенштейна) и других областях. Долгое время считалось, что золотое сечение – наиболее эстетичная пропорция. Такое мнение популярно и сегодня. Хотя по результатам исследований визуально большинство людей не воспринимают такую пропорцию наиболее удачным вариантом и считают слишком вытянутой (непропорциональной).
- Длина отрезка с = 1, а = 0,618, b = 0,382.
- Отношение с к а = 1, 618.
- Отношение с к b = 2,618
А теперь вернемся к числам Фибоначчи. Возьмем два следующих друг за другом члена из его последовательности. Разделим большее число на меньшее и получим приблизительно 1,618. А теперь задействуем то же большее число и следующий за ним член ряда (т.е. еще большее число) – их отношение рано 0,618.
Вот пример: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 и 233/377 = 0,618
Кстати, если вы попробуете проделать тот же эксперимент с числами из начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится. Ну, почти. Правило золотого сечения почти не соблюдается для начала последовательности. Но зато по мере продвижения вдоль ряда и возрастания чисел работает отлично.
И для того, чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, идущих друг за другом. Можете убедиться в этом сами!
Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи
Еще одну любопытную параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением позволяет провести так называемый «золотой прямоугольник»: его стороны соотносятся в пропорции 1,618 к 1. А ведь мы уже знаем, что за число 1,618, верно?
Например, возьмем два последовательных члена ряда Фибоначчи – 8 и 13 – и построим прямоугольник со следующими параметрами: ширина = 8, длина = 13.
А затем разобьем большой прямоугольник на меньшие. Обязательное условие: длины сторон прямоугольников должны соответствовать числам Фибоначчи. Т.е. длина стороны большего прямоугольника должна быть равной сумме сторон двух меньших прямоугольников.
Так, как это выполнено на этом рисунке (для удобства фигуры подписаны латинскими буквами).
Кстати, строить прямоугольники можно и в обратном порядке. Т.е. начать построение с квадратов со стороной 1. К которым, руководствуясь озвученным выше принципом, достраиваются фигуры со сторонами, равными числам Фибоначчи. Теоретически продолжать так можно бесконечно долго – ведь и ряд Фибоначчи формально бесконечен.
Если соединить плавной линией углы полученных на рисунке прямоугольников, получим логарифмическую спираль. Вернее, ее частный случай – спираль Фибоначчи. Она характеризуется, в частности, тем, что не имеет границ и не изменяет формы.
Подобная спираль часто встречается в природе. Раковины моллюсков – один из самых ярких примеров. Более того, спиральную форму имеют некоторые галактики, которые можно разглядеть с Земли. Если вы обращаете внимание на прогнозы погоды по телевизору, то могли заметить, что подобную спиральную форму имеют циклоны при съемке их со спутников.
Любопытно, что и спираль ДНК подчиняется правилу золотого сечения – соответствующую закономерность можно усмотреть в интервалах ее изгибов.
Такие удивительные «совпадения» не могут не будоражить умы и не порождать разговоры о неком едином алгоритме, которому подчиняются все явления в жизни Вселенной. Теперь вы понимаете, почему эта статья называется именно так? И двери в какие удивительные миры способна открыть для вас математика?
Числа Фибоначчи в живой природе
Связь чисел Фибоначчи и золотого сечения наводит на мысли о любопытных закономерностях. Настолько любопытных, что возникает соблазн попробовать отыскать подобные числам Фибоначчи последовательности в природе и даже в ходе исторических событий. И природа действительно дает повод для подобного рода допущений. Но все ли в нашей жизни можно объяснить и описать с помощью математики?
Примеры живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи:
- порядок расположения листьев (и веток) у растений – расстояния между ними соотносимы с числами Фибоначчи (филлотаксис);
- расположение семян подсолнуха (семечки располагаются двумя рядами спиралей, закрученных в разном направлении: один ряд по часовой стрелке, другой – против);
- расположение чешуек сосновых шишек;
- лепестки цветов;
- ячейки ананаса;
- соотношение длин фаланг пальцев на человеческой руке (приблизительно) и т.д.
Задачи по комбинаторике
Числа Фибоначчи находят широкое применение при решении задач по комбинаторике.
Комбинаторика – это раздел математики, который занимается исследованием выборки некого заданного числа элементов из обозначенного множества, перечислением и т.п.
Давайте рассмотрим примеры задач по комбинаторике, рассчитанных на уровень старшей школы (источник - http://www.problems.ru/).
Задача №1:
Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
Число способов, которыми Леша может подняться на лестницу из n ступенек, обозначим а n. Отсюда следует, что a 1 = 1, a 2 = 2 (ведь Леша прыгает либо на одну, либо через две ступеньки).
Оговорено также, что Леша прыгает по лестнице из n > 2 ступенек. Предположим, с первого раза он прыгнул на две ступеньки. Значит, по условию задачи, ему нужно запрыгнуть еще на n – 2 ступеньки. Тогда количество способов закончить подъем описывается как a n–2 . А если считать, что в первый раз Леша прыгнул только на одну ступеньку, тогда количество способов закончить подъем опишем как a n–1 .
Отсюда получаем такое равенство: a n = a n–1 + a n–2 (выглядит знакомо, не правда ли?).
Раз мы знаем a 1 и a 2 и помним, что ступенек по условию задачи 10, вычисли по порядку все а n : a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.
Ответ: 89 способов.
Задача №2:
Требуется найти количество слов длиной в 10 букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не должны содержать две буквы «б» подряд.
Обозначим за a n количество слов длиной в n букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не содержат двух букв «б» подряд. Значит, a 1 = 2, a 2 = 3.
В последовательности a 1 , a 2 , <…>, a n мы выразим каждый следующий ее член через предыдущие. Следовательно, количество слов длиной в n букв, которые к тому же не содержат удвоенной буквы «б» и начинаются с буквы «а», это a n–1 . А если слово длиной в n букв начинается с буквы «б», логично, что следующая буква в таком слове – «а» (ведь двух «б» быть не может по условию задачи). Следовательно, количество слов длиной в n букв в этом случае обозначим как a n–2 . И в первом, и во втором случае далее может следовать любое слово (длиной в n – 1 и n – 2 букв соответственно) без удвоенных «б».
Мы смогли обосновать, почему a n = a n–1 + a n–2 .
Вычислим теперь a 3 = a 2 + a 1 = 3 + 2 = 5, a 4 = a 3 + a 2 = 5 + 3 = 8, <…>, a 10 = a 9 + a 8 = 144. И получим знакомую нам последовательность Фибоначчи.
Ответ: 144.
Задача №3:
Вообразите, что существует лента, разбитая на клетки. Она уходит вправо и длится бесконечно долго. На первую клетку ленты поместим кузнечика. На какой бы из клеток ленты он ни находился, он может перемещаться только вправо: или на одну клетку, или на две. Сколько существует способов, которыми кузнечик может допрыгать от начала ленты до n -ой клетки?
Обозначим число способов перемещения кузнечика по ленте до n -ой клетки как a n . В таком случае a 1 = a 2 = 1. Также в n + 1 -ую клетку кузнечик может попасть либо из n -ой клетки, либо перепрыгнув ее. Отсюда a n + 1 = a n – 1 + a n . Откуда a n = F n – 1 .
Ответ: F n – 1 .
Вы можете и сами составить подобные задачи и попробовать решить их на уроках математики вместе с одноклассниками.
Числа Фибоначчи в массовой культуре
Разумеется, такое необычное явление, как числа Фибоначчи, не может не привлекать внимание. Есть все же в этой строго выверенной закономерности что-то притягательное и даже таинственное. Неудивительно, что последовательность Фибоначчи так или иначе «засветилась» во многих произведениях современной массовой культуры самых разных жанров.
Мы вам расскажем про некоторые из них. А вы попробуйте поискать сами еще. Если найдете, поделитесь с нами в комментариях – нам ведь тоже любопытно!
- Числа Фибоначчи упоминаются в бестселлере Дэна Брауна «Код да Винчи»: последовательность Фибоначчи служит кодом, при помощи которого главные герои книги открывают сейф.
- В американском фильме 2009 года «Господин Никто» в одном из эпизодов адрес дома представляет собой часть последовательности Фибоначчи – 12358. Кроме этого, в другом эпизоде главный герой должен позвонить по телефонному номеру, который по сути – та же, но слегка искаженная (лишняя цифра после цифры 5) последовательность: 123-581-1321.
- В сериале 2012 года «Связь» главный герой, мальчик, страдающий аутизмом, способен различать закономерности в происходящих в мире событиях. В том числе посредством чисел Фибоначчи. И управлять этими событиями также посредством чисел.
- Разработчики java-игры для мобильных телефонов Doom RPG поместили на одном из уровней секретную дверь. Открывающий ее код – последовательность Фибоначчи.
- В 2012 году российская рок-группа «Сплин» выпустила концептуальный альбом «Обман зрения». Восьмой трек носит название «Фибоначчи». В стихах лидера группы Александра Васильева обыграна последовательность чисел Фибоначчи. На каждый из девяти последовательных членов приходится соответствующее число строк (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Тронулся в путь состав
1 Щёлкнул один сустав
1 Дрогнул один рукав
2 Всё, доставайте стафф
Всё, доставайте стафф
3 Просьбой о кипятке
Поезд идёт к реке
Поезд идёт в тайге <…>.
- лимерик (короткое стихотворение определенной формы – обычно это пять строк, с определенной схемой рифмовки, шуточное по содержанию, в котором первая и последняя строка повторяются или частично дублируют друг друга) Джеймса Линдона также использует отсылку к последовательности Фибоначчи в качестве юмористического мотива:
Плотная пища жён Фибоначчи
Только на пользу им шла, не иначе.
Весили жёны, согласно молве,
Каждая - как предыдущие две.
Подводим итоги
Мы надеемся, что смогли рассказать вам сегодня много интересного и полезного. Вы, например, теперь можете поискать спираль Фибоначчи в окружающей вас природе. Вдруг именно вам удастся разгадать «секрет жизни, Вселенной и вообще».
Пользуйтесь формулой для чисел Фибоначчи при решении задач по комбинаторике. Вы можете опираться на примеры, описанные в этой статье.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
