Пространственная дискретизация изображения. Двоичное кодирование графической информации

Cлайд 1

Cлайд 2

Графическое изображение Аналоговая (непрерывная) Визуальная, воспринимается глазами человека. Пример, живописное полотно Дискретная (цифровая) Скачкообразная, воспринимается вычислительной техникой. Пример, изображение созданное струйным принтером принтером Преобразуется путем пространственной дискретизации

Cлайд 3

Пространственная дискретизация- это способ преобразования аналоговой формы информации в цифровую (дискретную). Графическое изображение преобразуется в растровое изображение (состоит из определенного количества точек и строк). Механизм: Изображение разбивается на отдельные фрагменты (точки, или пиксели), причем каждый фрагмент имеет свой цвет.

Cлайд 4

Пиксель – минимальный участок изображения, для которого независимым образом задается цвет

Cлайд 5

Разрешающая способность- определяет количество точек по горизонтали и вертикали на единицу длины изображения. Единица длины 1 дюйм=2,54 см Единица измерения разрешающей способности растрового изображения – dpi

Cлайд 6

Пространственная дискретизация- На практике осуществляется: Цифровыми фото- и видеокамерами; Сканированием.

Cлайд 7

Технология сканирования По поверхности изображения перемещается полоска светочувствительного элемента. Качество изображения, при этом, зависит от разрешающей способности сканера. Например, 1200х2400 dpi Оптическое разрешение, кол-во светочувствительных элементов на 1 дюйм полоски Аппаратное разрешение, кол-во «микрошагов», которые делает полоска светочувствительных элементов, перемещаясь на 1 дюйм вдоль изображения

Cлайд 8

Палитра цветов Набор цветов которые могут принимать точки изображения. При дискретизации, каждый минимальный участок изображения (точка или пиксель) получает определенный цвет из используемой палитры цветов.

Cлайд 9

Цвет точки – возможное ее состояние. N – количество цветов в палитре J – кол-во информации, необходимое для кодирования цвета точки. Пример, черно-белое изображение, N=2, т.е. всего одно из двух возможных состояний- белое или черное. J= 1 бит Количество информации, которое необходимо для кодирования цвета точки изображения, наз-ся глубиной цвета (J)

Cлайд 10

Глубина цвета и количество цветов в палитре Глубина цвета,J(битов) Кол-во цветов в палитре,N 8 2^8=256 16 2^16=65 536 24 2^24=16 777 216

Описание:

Цели урока:

Образовательная:

ознакомиться с правилами безопасного поведения в кабинете информатики.

изучение способов представления графической информации, понятия пикселя, основных характеристик представления графической информации.

Развивающая:

продолжить развитие познавательных психических и эмоционально-волевых процессов: внимание, память, воображение.

Воспитательная:

внимательность,

аккуратность,

интерес к предмету.

Тип урока:

• урок формирования новых знаний и умений.

Методы обучения по характеру познавательной деятельности:

• Объяснительно-иллюстративный (формы: словесные, наглядные)
• Репродуктивный (формы: практические, логические).

Оборудование урока:

• компьютеры;
• проектор;
• экран (интерактивная доска);
• учебник – Информатика. Учебник для 9 класса. Н.Д. Угринович;

• Видеопрезентация «Правила поведения ы кабинете информатики».
• презентация “Пространственная дискретизация».

• тестирующая программа с автоматической проверкой ответов учащихся (MyTest)

Основные понятия:

• аналоговое представление информации;
• цифровое представление информации;
• пространственная дискретизация;
• пиксель;
• разрешающая способность;
• качество растрового изображения
• глубина цвета;

План урока:

• Организационный момент.
• Вводный инструктаж.
• Изучение нового материала.
• Закрепление нового материала.
• Первичный контроль результатов учебной деятельности.
• Домашнее задание.
• Подведение итогов урока. Рефлексия.

Ход урока

Организационный момент.

Приветствие учащихся. Проверка присутствующих, объявление темы и принципа работы на уроке.

Вводный инструктаж.

Проведение вводного инструктажа по технике безопасности и правилам поведения в компьютерном классе. (Видеопрезентация «Правила поведения ы кабинете информатики»).

Изучение нового материала.

С давних времен люди стремились передать свое восприятие мира в виде рисунка, картины. Ребята, обратите внимание на доску.

Слайды 2-4

Некоторые техники создания изображений появились за много веков до появления компьютера, во многих из них изображение строится из дискретных элементов. Во-первых, это такие направления искусства, как мозаика, витражи, вышивка. Во-вторых, это рисование «по клеточкам» - эффективный способ переноса изображения с подготовительного картона на стену, предназначенную для фрески. Суть этого метода заключается в следующем. Картон и стена, на которую будет переноситься рисунок, покрываются равным количеством клеток, затем фрагмент рисунка из каждой клетки картона тождественно изображается в соответствующей клетке стены.

Слайд 5

Графическая информация может быть представлена в аналоговой и дискретной формах. Аналоговая – непрерывная форма. Дискретная – цифровая форма. Преобразование информации из аналоговой формы в цифровую называется пространственной дискретизацией. Изображение разбивается на отдельные точки – пиксели.

Слайд 6

Графическое изображение из аналоговой (непрерывной) формы в цифровую (дискретную) преобразуется путем пространственной дискретизации. Пространственную дискретизацию изображения можно сравнить с построением изображения из мозаики (большого количества разноцветных стекол). Изображение разбивается на отдельные маленькие фрагменты (точки, или пиксели), причем каждый элемент имеет свой цвет (красный, зеленый синий и т.д.)

Слайд 7

В результате пространственной дискретизации графическая информация представленная в виде растрового изображения, которое формируется из определенного количества строк, которые в свою очередь, содержат определенное количество точек.

Слайд 8

В компьютерной графике термин «пиксель», вообще говоря, может обозначать разные понятия:

наименьший элемент изображения на экране компьютера;

отдельный элемент растрового изображения;

точка изображения, напечатанного на принтере.

Поэтому, чтобы избежать путаницы, будем пользоваться следующей терминологией:

видеопиксель - наименьший элемент изображения на экране;

пиксель - отдельный элемент растрового изображения;

точка - наименьший элемент, создаваемый принтером.

Слайд 9

Пространственная дискретизация непрерывных изображений, хранящихся на бумаге, фото- и кинопленке, может быть осуществлена путем сканирования. В настоящее время все большее распространение получают цифровые фото- и видеокамеры, которые фиксируют изображения сразу в дискретной форме.

Слайд 10

Разрешающая способность. Важнейшей Характеристикой качества растрового изображения является разрешающая способность

Разрешающая способность растрового изображения определяется количеством точек как по горизонтали, так и по вертикали на единицу длины изображения.

Чем меньше размер точки, тем больше разрешающая способность (больше строк растра и точек в строке) и, соответственно, выше качество изображения. Величина разрешающей способности обычно выражается в dpi (dot per inch - точек на дюйм), т. е. в количестве точек в полоске изображения длиной один дюйм (1 дюйм = 2,54 см)

Качество растровых изображений, полученных в результате сканирования, зависит от разрешающей способности сканера, которую производители указывают двумя числами (например, 1200 х 2400 dpi).

Слайд 11

Сканирование производится путем перемещения полоски светочувствительных элементов вдоль изображения. Первое число является оптическим разрешением сканера и определяется количеством светочувствительных элементов на одном дюйме полоски. Второе число является аппаратным разрешением; оно определяется количеством "микрошагов", которое может сделать полоска светочувствительных элементов, перемещаясь на один дюйм вдоль изображения.

Слайды 12,13

Глубина цвета. В процессе дискретизации могут использоваться различные палитры цветов, т. е. наборы цветов, в которые могут быть окрашены точки изображения. Каждый цвет можно рассматривать как возможное состояние точки. Количество цветов N в палитре и количество информации I, необходимое для кодирования цвета каждой точки, связаны между собой и могут быть вычислены по формуле:

N=2 I

В простейшем случае (черно-белое изображение без градаций серого цвета) палитра цветов состоит всего из двух цветов (черного и белого). Каждая точка экрана может принимать одно из двух состояний - "черная" или "белая", следовательно, по формуле (1.1) можно вычислить, какое количество информации необходимо, чтобы закодировать цвет каждой точки:

2 = 2 I => 21 = 2I => I = 1 бит.

Наиболее распространенными значениями глубины цвета при кодировании цветных изображений являются 4, 8, 16 или 24 бита на точку. Зная глубину цвета, по формуле N=2I можно вычислить количество цветов в палитре.

Слайды 14,15

Глубина цвета и количество цветов в палитре

Слайд 16

Закрепление нового материала.

Контрольные вопросы:

Назовите виды представления графической информации.

• Аналоговый (непрерывный);
• Дискретный (цифровой).

В чем состоит суть метода пространственной дискретизации (ПД)?

• ПД – процесс преобразования аналоговой графики в цифровую форму в результате которого исходное изображение разбивается на отдельные точки определенного цвета;

Какой тип изображения будет получен в результате пространственной дискретизации?

• Растровое изображение

Что такое пиксель?

• Пиксель – минимальный участок изображения для которого независимым образом можно задать цвет.

Какой аппаратный метод может быть применен для пространственной дискретизации?

• Сканирование.

Чем определяется разрежающая способность растрового изображения?

• …количеством точек по вертикали и горизонтали на единицу длины изображения

Укажите параметры растрового изображения.

• Количество точек по вертикали на количество точек по горизонтали на единицу длины (дюйм).

Указано разрешение сканера 1200х2400 dpi. Поясните что определяют цифровые показатели?

• 1200 – оптическое разрешение определяется количеством светочувствительных элементов на одном дюйме полоски.
• 2400 – аппаратное разрешение определяется количеством "микрошагов", которое может сделать полоска светочувствительных элементов, перемещаясь на один дюйм вдоль изображения.

Дайте определение глубины цвета.

• Количество информации, которое используется для кодирования цвета точки изображения, называется глубиной цвета.

Сколько цветов в палитре при значении глубины цвета = 4?

• 24=16

А теперь решим несколько задач:

Растровый графический файл содержит черно-белое изображение (без градаций серого) размером 100х100 точек. Какой объем памяти требуется для хранения этого файла?

• 1000 бит;
• 10000 бит;
• 10000 байт.

Растровый файл, содержащий черно-белый (без оттенков серого) квадратный рисунок, имеет объем 200 байт. Рассчитайте размер стороны квадрата (в пикселях).

• 1000.

Объем изображения, размером 40х50 пикселей, составляет 2000 байт. Изображение использует:

• 8 цветов;
• 256 цветов;
• 16777216 цветов.

Известно, что видеопамять компьютера имеет объем 512 Кбайт. Разрешающая способность экрана 640 на 200 пикселей. Сколько страниц экрана одновременно разместится в видеопамяти при палитре из 8 цветов;16 цветов;256 цветов?

• 512 Кбайт = 512 х 210 = 512 х 1024 = 524 288 байт. 524 288 х 8 = 4 194 304 бит – объем видеопамяти.
• 640 х 200 х 8 = 1 024 000 объем видеостраницы при палитре из 8 цветов. 4 194 304 / 1 024 000 = 4,096 страницы.
• 640 х 200 х 16 = 2 048 000 объем видеостраницы при палитре из 16 цветов. 4 194 304 / 2 048 000 = 2,048 страниц.
• 1,024 страниц

Используются графические режимы с глубинами цвета 8, 16, 24 и 32 бита. Вычислить объемы видеопамяти, необходимые для реализации данных глубин цвета при различных разрешающих способностях экрана (800 х 600, 1024 х 768, 1152 х 864).

• Всего точек на экране (разрешающая способность): 640 * 480 = 307200
• Необходимый объем видеопамяти V= 4 бит * 307200 = 1228800 бит = 153600 байт = 153600 /1024 = 150 Кбайт.
• Аналогично рассчитывается необходимый объем видеопамяти для других графических режимов.

Первичный контроль результатов учебной деятельности.

Фронтальное тестирование с использованием программного комплекса MyTest.

Домашнее задание.

Дополнительно:

Демонстрационный материал к уроку «Пространственная дискретизация» (17 слайдов)

Слайд 7

Пространственная дискретизация непрерывных изображений, хранящихся на бумаге, фото- и кинопленке, может быть осуществлена путем сканирования. В настоящее время все большее распространение получают цифровые фото- и видеокамеры, которые фиксируют изображения сразу в дискретной форме.

Глубина цвета и количество цветов в палитре Глубина цвета, i (битов) Количество цветов в палитре, N 42 4 = = = =

Графические режимы монитора Качество изображения на экране монитора зависит от величины пространственного разрешения и глубины цвета. Пространственное разрешение экрана монитора определяется как произведение количества строк изображения на количество точек в строке. Монитор может отображать информацию с различными пространственными разрешениями (800*600, 1024*768, 1152*864 и выше).

Графические режимы монитора Глубина цвета измеряется в битах на точку и характеризует количество цветов, в которые могут быть окрашены точки изображения. Количество отображаемых цветов также может изменяться в широком диапазоне: от 256 (глубина цвета 8 битов) до более 16 миллионов (глубина цвета 24 бита).

Графические режимы монитора Периодически, с определенной частотой, коды цветов точек отображаются на экране монитора. Частота считывания изображения влияет на стабильность изображения на экране. В современный мониторах обновление изображения происходит с частотой 75 и более раз в секунду, что обеспечивает комфортность восприятия изображения пользователем. Пример Найдем объем видеопамяти для графического режима с пространственным разрешением 800х600 точек и глубиной цвета 24 бита. I П = i * X * Y = 24 бита х 600 х 800 = бит = байт = 1 406,25 Кбайт = 1,37 Мбайт

Задание Разрешающая способность экрана Глубина цвета х х 768 В мониторе могут быть установлены графические режимы с глубиной цвета 8, 16 и 24, 32 бита. Вычислить объем видеопамяти в Кбайтах, необходимый для реализации данной глубины цвета при различных разрешающих способностях экрана. Занести решение в таблицу.

Источники информации: - Угринович Н. Д. Учебник Информатика: учебник для 9 класса/ Н. Д. Угринович - 4-е изд. – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, – 178с..; - Угринович Н. Д., Босова Л.Л., Михайлова Н.И. Информатика и ИКТ: практикум/ Н. Д. Угринович, Л.Л. Босова, Н.И. Михайлова - М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, – 394с. - Угринович Н. Д. Информатика и ИКТ классы: Методическое пособие/ Н. Д. Угринович – М.:БИНОМ. Лаборатория знаний, с.;

В те времена, когда еще компьютеры обладали не настолько мощными возможностями, как сейчас, ни о каком преобразовании изображений на бумаге или на пленке не могло быть и речи. Сейчас же принято считать, что таким объектам соответствует аналоговая форма. С появлением новых технологий стало возможным производить оцифровку (например, при помощи сканеров). Благодаря этому появилась так называемая дискретная форма изображений. Но каким же образом производится перевод графики из одной формы в другую? Кратко о сути таких методов далее и будет рассказано максимально подробно и просто, чтобы каждый пользователь понял, о чем идет речь.

Что такое пространственная дискретизация в информатике?

Для начала рассмотрим общее понятие, объяснив его самым простым языком. Из одной формы в другую графическое изображение преобразуется путем пространственной дискретизации. Чтобы понять, что это такое, рассмотрим простой пример.

Если взять какую-нибудь картину, написанную акварельными красками, нетрудно заметить, что все переходы являются плавными (непрерывными). А вот на отсканированном изображении, которое было напечатано на струйном принтере, таких переходов нет, поскольку оно состоит из множества мелких точек, называемых пикселями. Получается, что пиксель - это своего рода строительный кирпичик, который обладает определенными свойствами (например, имеет свой цвет или оттенок). Из таких кирпичиков и складывается полное изображение.

В чем состоит суть метода пространственной дискретизации?

Если говорить о сути самого метода преобразования графики при помощи таких технологий, можно привести еще один пример, который поможет понять, как это все работает.

Оцифрованные изображения, что при сканировании, что при выводе на экран компьютерного монитора, что при печати, можно сравнить еще и неким подобием мозаики. Только здесь в качестве одного кусочка мозаики выступает пиксель. Это есть одна из основных характеристик всех современных устройств. Как уже можно было догадаться, чем больше таких точек, и чем меньше размер каждой из них, тем более плавными будут переходы. В конечном счете именно их количество для каждого конкретного устройства определяет его разрешающую способность. В информатике для такой характеристики принято рассчитывать количество пикселей (точек) на дюйм (dpi - dot per inch), причем и вертикальном, и в горизонтальном направлении.

Таким образом, создается двумерная пространственная сетка, чем-то напоминающая обычную систему координат. Для каждой точки в такой системе можно задавать собственные параметры, которые будут отличаться от соседних точек.

Факторы, влияющие на качество кодирования

Но не только вышеописанные примеры в полной мере отражают то, как работает пространственная дискретизация. Кодирование графической информации учитывает еще несколько важных параметров, от которых зависит качество оцифрованного изображения. Они применяются не только к самим изображениям, но и к воспроизводящим графику устройствам.

В первую очередь, сюда относят следующие характеристики:

• частота дискретизации;
• глубина цвета.

Частота дискретизации

Под частотой дискретизации понимается размер фрагментов, из которых состоит изображение. Этот параметр в равной степени можно встретить в характеристиках оцифрованных изображений, сканеров, принтеров, мониторов и графических карт.

Правда, тут есть одна загвоздка. Дело в том, что при повышении общего числа точек можно получить более высокую частоту. Но ведь при этом соответственно в большую сторону меняется и размер файла сохраняемого исходного объекта. Чтобы избежать этого, в настоящее время применяется искусственное поддержание размера на одном постоянном уровне.

Понятие разрешающей способности

Об этом параметре уже было упомянуто. Однако если посмотреть на устройства вывода изображений, тут картина несколько другая.

В качестве примера параметров, которые использует пространственная дискретизация, рассмотрим сканеры. Так, например, в характеристиках устройства указано разрешение 1200 х 1400 точек на дюйм. Сканирование производится путем перемещения полосы светочувствительных элементов вдоль сканируемого изображения. Но вот первое число обозначает оптическое разрешение самого устройства (количество сканирующих элементов в одном дюйме полосы), а второе относится к аппаратному разрешению и определяет количество «микроперемещений» полосы со сканирующими элементами по изображению при прохождении одного дюйма картинки.

Глубина цвета

Перед нами еще один важный параметр, без учета которого понять в полной мере, что такое пространственная дискретизация. Глубина цвета (или глубина кодирования) обычно выражается в битах (то же самое, кстати, можно отнести и к глубине звука) и определяет количество цветов, которые были задействованы при построении изображения, но в конечном итоге относится к палитрам (наборам цветов).

Например, если рассмотреть черно-белую палитру, в которой содержится всего два цвета (без учета градаций оттенков серого), количество информации при кодировании каждой точки можно вычислить по приведенной формуле, учитывая, что N - общее количество цветов (в нашем случае N=2), а I - количество состояний, которые может принимать каждая точка (в нашем случае I=1, поскольку вариантов может только два: или черный, или белый цвет). Таким образом, N I =2 1 =1 бит.

Квантование

Пространственная дискретизация также может учитывать и параметр, называемый квантованием. Что это такое? В чем-то это напоминает методику интерполирования.

Суть процесса состоит в том, что величина отсчета сигнала заменяется ближайшим соседним значением из фиксированного набора, который представляет собой список уровней квантования.

Чтобы лучше разобраться, как преобразовывается графическая информация, посмотрите на изображение выше. На нем представлена графика в исходной (аналоговой форме), изображение с применение квантования и побочные искажения, называемые шумами. На втором фото сверху можно увидеть своеобразные переходы. Они носят название шкалы квантования. Если все переходы одинаковы, шкала называется равномерной.

Цифровое кодирование

При преобразовании графической информации следует учесть, что, в отличие от аналогового сигнала, квантовый сигнал может принимать только совершенно определенное фиксированное количество значений. Это позволяет преобразовать их в набор символов и знаков, последовательность которых называют кодом. Финальная последовательность называется кодовым словом.

Каждое кодовое слово соответствует одному интервалу квантования, а для кодирования используется двоичный код. При этом иногда следует еще учитывать и скорость передачи данных, которая представляет собой произведение частоты дискретизации на длину кодового слова и выражается в битах в секунду (bps). Грубо говоря, это не что иное, как максимально возможное количество передаваемых двоичных символов в единицу времени.

Пример расчета видеопамяти для отображения на мониторе растрового изображения

Наконец, еще один важный аспект, связанный с тем, что представляет собой пространственная дискретизация. Растровые изображения на экране монитора воспроизводятся по определенным правилам и требуют затрат памяти.

Например, на мониторе установлен графический режим с разрешением 800 х 600 точек на дюйм и глубиной цвета 24 бит. Общее количество точек будет равно 800 х 600 х 24 бит = 11 520 000 бит, что соответствует или 1 440 000 байт, или 1406,25 Кб, или 1,37 Мб.

Способы сжатия видеоинформации

Технология пространственной дискретизации, как уже понятно, применима не только к графике, но и к видеоизображениям, которые в некотором смысле тоже можно отнести к графической (визуальной) информации. Правда, оцифровка такого материала до некоторых пор производилась с ограниченными возможностями, поскольку конечные файлы оказывались такими огромными, что держать их на компьютерном жестком диске было нецелесообразно (вспомните хотя бы исходный формат AVI, в свое время разработанный специалистами компании Microsoft).

С появлением алгоритмов M-JPEG, MPEG-4 и H.64 стало возможно уменьшать конечные файлы с коэффициентом уменьшения размера в 10-400 раз. Многие могут возразить по поводу того, что сжатое видеоизображение будет иметь более низкое качество по сравнению с оригиналом. В некотором смысле так оно и есть. Однако в таких технологиях уменьшение размера можно производить и с потерей качества, и без потерь.

Различают два основных метода, по которым производится сжатие: внутрикадровое и межкадровое. Оба таких варианта основаны на исключении из изображения повторяющихся элементов, однако не затрагивают, например, изменения яркости, цвета и т.д. Что в первом, что во втором случае, разница между сценами в одном кадре или между двумя соседними является незначительной, поэтому разница на глаз особо не заметна. Зато при удалении из файла вышеуказанных элементов, разница в размере между исходным и конечным изображением весьма существенная.

Одним из самых интересных, хотя и довольно сложных методов, которые использует пространственная дискретизация для сжатия изображений, является технология, получившая название дискретного косинусного преобразования, предложенная В. Ченом в 1981 году. Основана она на матрице, в которой, в отличие от исходной, описывающей только величины отсчетов, представлены значения скорости их изменения.

Таким образом, ее можно рассматривать, как некую сетку изменения скоростей в вертикальном и горизонтальном направлениях. Размер каждого блока определяется технологией JPEG и имеет размер 8 х 8 пикселей. А вот сжатие применяется к каждому отдельно взятому блоку, а не к целому изображению. Таким образом, разница между исходным и конечным материалом становится еще менее заметной. Иногда в компьютерной терминологии такую методику называют еще субдискретизацией.

Далее для яркости и цветности может применяться описанное выше квантование, при котором каждая величина косинусного преобразования делится на коэффициент квантования, который можно найти в специальных таблицах, полученных на основе так называемых психофизических тестов.

Сами же таблицы соответствуют строго определенным классам блоков, сгруппированных по активности (равномерное изображение, неструктурированное изображение, горизонтальный или вертикальный перепад и т.д.). Иными словами, для каждого блока устанавливаются свои собственные значения, которые неприменимы к соседним или тем, что отличаются классом.

Наконец, после квантования на основе кода Хаффмана производится удаление избыточных коэффициентов (сокращение избыточности), что позволяет получить для последующего кодирования кодовое слово с длиной менее одного бита для каждого коэффициента (VLC). Далее формируется линейная последовательность, для которой применяется метод зигзагообразного считывания, что группирует значения в конечной матрице в виде значащих величин и последовательностей нулей. А вот как раз их и можно убрать. Остальные комбинации сжимаются стандартным способом.

А вообще, специалисты особо не рекомендуют производить кодирование графической информации с использованием технологий JPEG, поскольку они имеют ряд недостатков. Во-первых, многократное пересохранение файлов неизменно приводит к ухудшению качества. Во-вторых, из-за того, что объекты, закодированные при помощи JPEG, не могут содержать прозрачных областей, применять такие методы к графическим изображениям или сканируемым образцам художественной графики можно только в том случае, если они по вертикали и горизонтали не превышают размер в 200 пикселей. В противном случае ухудшение качества конечного изображения будет выражено очень ярко.

Правда, алгоритмы JPEG стали основой для технологий сжатия MPEG, а также для множества стандартов конференц-связи вроде H.26X и H32X.

Вместо послесловия

Вот кратко и все, что касается понимания вопросов, связанных преобразованием аналоговой формы графики и видео в дискретную (по аналогии такие методики используются и для звука). Описанные технологии достаточно сложны для понимания рядовым пользователем, однако некоторые важные составляющие основных методик понять все-таки можно. Здесь не рассматривались вопросы настройки мониторов для получения максимально качественной картинки. Однако по интересующему нас вопросу можно отметить, что устанавливать максимально возможное разрешение стоит не всегда, поскольку завышенные параметры могут привести к неработоспособности устройства. То же самое касается и частоты обновления экрана. Лучше использовать рекомендованные производителем значения или те, которые операционная система после установки соответствующих драйверов и управляющего программного обеспечения предлагает использовать по умолчанию.

Что же касается самостоятельного сканирования или перекодирования информации из одного формата в другой, следует использовать специальные программы и конвертеры, однако для того, чтобы избежать понижения качества, максимально возможным сжатием с целью уменьшения размеров конечных файлов, лучше не увлекаться. Такие методы применимы только для тех случаев, когда информацию нужно сохранить на носителях с ограниченным объемом (например, CD/DVD-диски). Но в случае наличия достаточного места на винчестере, или когда требуется создать презентацию для трансляции на большом экране, или распечатать фотографии на современном оборудовании (фотопринтеры не в счет), качеством лучше не пренебрегать.

Кардинальной проблемой численного моделирования миграцион­ных процессов является дискретизация в пространстве и во време­ни. При пространственной дискретизации наиболее часто употреб­ляются метод конечных разностей (МКР) и метод конечных эле-

Рис. 24. Схема квадратной ячейки сеточной модели миграционного потока: ■а - параметры свойств; б - результаты миграционного расчета. / - первичные результаты; 2 - билинейная интерполяция; 3 к 4 - расчетный и соседние узлы сеткн. Ментов (МКЭ), основные положення которых описаны, например, в работах . В дальнейшем будем рассматривать только МКР, позволяющий более наглядно представить разност­ную модель процесса. При этом используются консервативные раз­ностные схемы, в основе которых находится составление баланса вещества в блоке (ячейке), относящемся к каждой узловой точке (метод составных ячеек ). При этом для каждой ячейки определяют конвективные прито­ки и оттоки мигрантов при помощи линейной интерполяции между соседними узлами (что соответствует основной разности МКР) или используют значение концентраций с узла, из которого поступает мигрант (что соответствует обратной разности МКР). Для опре­деления притока и оттока мигранта вследствие дисперсии исполь­зуются также первые частные производные концентрации с пер­пендикулярно и параллельно границам ячеек, которые можно би­линейно установить по соседним значениям. Рассмотрим основные положения решения проблемы дискрети­зации применительно к двумерному конвективно-дисперсионному потоку в гомогенной среде с учетом процессов распада по уравне­нию (3.8) при Кос-Я и действия миграционных источников-стоков с интенсивностью w. В таком случае дифференциальное уравнение конвективно-диффузионного переноса нейтрального мигранта в двумерном потоке (с координатами xt при хх=х и х2-у) имеет вид TOC \o "1-3" \h \z д / г\ дс \ , де і, дс, ID,------ І + ^і------------ ас 4- w = л0 -- . (7.1) Если знак q выявляется только в результате расчета, то в об­щем справедливо соотношение 2qmkc _ (gtnk _J_ gmk) ck _J_ (qtnk _ [ qmk I) Таким образом, получают линейную систему уравнений с п уравнениями (л - число ячеек с определяемыми значениями с), асимметричная матрица коэффициентов которых указывает на каждые четыре занятых верхних и нижних кодиагонала наряду с основными диагоналями. Изображаемые таким способом вычисли­тельные модели миграции примерно равнозначны моделям (мат­ричным уравнениям), сформулированным с помощью нормального МКР, а также моделям МК. Э с помощью линейной аппроксимации функций. Преимущество такой системы состоит в том, что здесь гарантируется максимальная наглядность математического описа­ния процесса. В настоящее время при численном моделировании миграции почти исключительно используют для временной производной част­ную разность первого порядка и строят модель миграции, учитывая важность двух временных уровней. Тогда уравнение (7.1) для ми­грационной модели имеет вид Неявная (см. рис. 25, б); у=\/2- Кранка - Никольсона (см. рис. 25, в); 7=2/3 - Галеркина (см. рис. 25, в). Для Vе (0; 2/3; 1) доказывается порядок аппроксимации 0(Д0 и для y=: 1/2-0 (Дt) , Из разложения функций в ряд Тейлора сле­дует, что численную дисперсию вызывают как Требует тонкой дискретизации. Даже обеспечение возможности коррекции коэффициента дисперсии DKop согласно выражению TOC \o "1-3" \h \z Асор = D - [ I * I Д*/2 + А^2/(2я0)] > 0 (7:6) Не исключает значительных затрат по дискретизации^ Для харак­теристики дискретизации процессов миграции пользуются безмер­ными числами, получаемыми из уравнения (7.3): 0 I v I Ах Ах Дtv* At I v I Редх = --! ж и Di А для характеристики осцилляций - производными характеристи­ками РеЛд: П0 Ах Ах П0 Ах2 Из уравнения следует, что значительные затраты на простран­ственную дискретизацию миграционных процессов оправданы лишь, когда одинаковый порядок величин имеет также погреш­ность временной дискретизации. Поэтому схема Крайка-Николь - сона с погрешностью порядка At2 часто используется в моделиро­вании, несмотря на связанные с этим опасения в отношении ста­бильности. Ее повышение достигается с помощью метода «предик­тор-корректор» Г10]. При этом согласно неявной схеме решения (Y=1) рассчитывается полушаг At/2 при исходном положении всех параметров ко времени t и определяются значения с*+Л(12. Затем по схеме Крайка-Никольсона (у= 1/2) реализуется весь шаг At, причем все параметры миграции, члены источников-стоков, обмена и замещения, а также член конвекции задаются на момент времени t+At/2. Таким образом, вычислительная модель уравне­ния (7.2) при полном шаге получается в таком виде (см. рис. 25): Причем для dc/dt надо подставить одно-, дву - или трехмерное ис­ходное.дифференциальное уравнение, а для d2c/dt2 его производ­ную. Наконец, очень значительная точность аппроксимации дости­гается благодаря тому, что временная производная учитывается не только в точке п (это в общем виде относится также к членам источников-стоков ic и да), но и на соседних узлах. В наиболее простой форме эту подстановку осуществляют по правилу Симп - сона: dc/dt-(1/6) [{dc/dt)a-.i+4(dc/dt)n+(dc/di)n-1]. На рис. 25, е приведена также конечно-разностная схема для одномерных процессов миграции, предложенная Г. Стояном. Эта схема дает возможность управлять вычислением всех частных про­изводных и получать стабильные и точные численные решения, особенно для случаев чистой дисперсии или чистой конвекции. Выбранный численный метод пригоден лишь в тех случаях, когда численное решение стремится к точному при уменьшающейся ширине. шага, т. е. когда этот метод является сходящимся. Численная дисперсия вызывается прежде всего дискретностью членов:конвекции и емкости (аккумуляции), т. е. первыми произ­водными зависимых переменных. Это может приводить к значи­тельным погрешностям при моделировании миграционных процес­сов с? небольшим коэффициентом дисперсии £>, величина которых для различных численных моделей миграции получается в зависи­мости от Ре^лг и числа Di или Сг. Благодаря введению исправ< ленных. коэффициентов дисперсии [см., например, уравнение (7.6)] значительно уменьшаются погрешности и в простых дискретных схемах. (Стабильные обратные разности членов конвекции и акку­муляции, а также МК. Э с линейными пространственными и вре­менными начальными функциями приводят к значительной числен­ной дисперсии или требуют очень тонкой локальной и временной дискретизации. Численные осцилляции происходят в определенных условиях и, как правило, определяются сравнением с соответствующими ана­литическими решениями. Опасность колебаний возникает преиму­щественно в процессах с доминирующей конвекцией. Особенно под­вержены осцилляциям схема Кранка-Никольсона, основная раз­ность членов конвекции или аккумуляции и формулировка МКЭ по схеме Галеркина с линейными функциями. Вместе с тем неяв­ная схема, обратные разности членов конвекции и аккумуляции, а также формулировка МК. Э по Ритцу и по Галеркину с много­кратной коллокацией в значительной мере свободны от осцилля - ций. Вместе с тем чем «нейтральнее» численная схема, тем она точнее и чувствительнее к нарушениям. Поэтому применяемая на практике численная схема постоянно является компромиссом меж­ду обеими тенденциями. Наряду с погрешностями дискретности имеют значение также погрешности в стабильности, вытекающие из ограниченного коли­чества численных расчетов. Безусловно стабильной считается чис­ленная модель миграции, если численная погрешность (округле­ния) уменьшается от одного временного шага к другому, а условно стабильной - если это происходит только при определенных усло­виях. Эти условия для особых случаев аналитически представлены в работе . Таким образом, сравнением с аналитическими ре­шениями фиксируется условие стабильности при заданной прост­ранственной дискретизации путем установления критической вели­чины временного шага через критические числа Di или Сг. Без­условно стабильной является неявная схема решения с у-1, при­чем с уменьшением у возрастает склонность к нестабильности. Численное решение составленной системы уравнений (матричное уравнение) также таит в себе возможности погрешностей. К очень большим погрешностям, сильно распространяющимся при услов­ном стабильном методе, может приводить решение системы урав­нений с плохо выраженными условиями, у которых элементы ос­новных диагоналей матрицы коэффициентов в недостаточной сте­пени преобладают по сравнению с основными диагоналями кодиа - гоналей. Значительные погрешности в решении уравнений может вызы­вать решение всей системы уравнений с помощью частного метода шагов (например, неявного метода переменных направлений) и пе­реноса элементов матрицы коэффициентов в правую ч"асть урав­нений путем умножения на временные или итеративно зависимые переменные с обратной датировкой для создания ленточных мат­риц с незначительной шириной ленты (преимущественно тридиаго - нальные матрицы коэффициентов). По этой причине следует тща­тельно проверять и контролировать программы компьютера па численному моделированию миграции, особенно путем сравнения с аналитическими решениями. На основе численного решения производится первичное опреде­ление числа опорных точек в пространственно-временной сетке. Число опорных точек по времени или по размеру итерационного шага при нелинейном решении указывает количество определяе­мых локально-дискретных значений зависимых переменных (Я или иногда vx, vy, с) и таким образом влияет на число уравнений си­стемы. Затраты времени на одноразовое решение этой системы уравнений являются основной величиной для оценки затрат; они зависят от типа ЭВМ, используемого метода для решения системы 124 уравнений и качества генерированной вычислительной программы. Если эти затраты умножить на число временных или итерацион­ных шагов, необходимых для моделирования, и прибавить к этому затраты времени на корректирование матриц коэффициентов и правой стороны уравнений, то получится время, необходимое для математического моделирования на ЭВМ. Потребность в месте накопителей для математического моделирования многомерных процессов миграции определяется прежде всего потребностью в месте накопления подпрограммы для решения системы уравнений.