Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.
Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так:
Допустим, дан параллелограмм со сторонами a
= 4 см, b
= 6 см. Угол между ними α
= 30°. Найдем площадь:
Площадь параллелограмма через диагонали
Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.
Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D
= 7 см, d
= 5 см. Угол, лежащий между ними α
=30°. Подставим данные в формулу:
Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.
Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.
Задача:
Дан параллелограмм с площадью 92 кв. см. Точка F
расположена на середине его стороны ВС
. Давайте найдем площадь трапеции ADFB
, которая будет лежать в нашем параллелограмме. Для начала нарисуем все, что получили по условиям.
Приступаем к решению:
По нашим условиям ah
=92, а соответственно, площадь нашей трапеции будет равняться
При решении задач по данной теме кроме основных свойств параллелограмма и соответственных формул можно запомнить и применять следующее:
- Биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
- Биссектрисы внутренних углов прилежащие к одной из сторон параллелограмма взаимно перпендикулярные
- Биссектрисы, выходящие из противоположных внутренних углов параллелограмма, параллельные между собой либо лежат на одной прямой
- Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
- Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними
Рассмотрим задачи, при решении которых используются данные свойства.
Задача 1.
Биссектриса угла С параллелограмма АВСD пересекает сторону АD в точке М и продолжение стороны АВ за точку А в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если АЕ = 4, DМ = 3.
Решение.
1. Треугольник СМD равнобедренный. (Свойство 1). Следовательно, СD = МD = 3 см.
2. Треугольник ЕАМ равнобедренный.
Следовательно, АЕ = АМ = 4 см.
3. АD = АМ + МD = 7 см.
4. Периметр АВСD = 20 см.
Ответ. 20 см.
Задача 2.
В выпуклом четырёхугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырёхугольник является параллелограммом.
Решение.
1. Пусть ВЕ – высота треугольника АВD, СF – высота треугольника АCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание АD, то высоты этих треугольников равны. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярны АD. Точки В и С расположены по одну сторону относительно прямой АD. ВЕ = СF. Следовательно, прямая ВС || AD. (*)
3. Пусть АL – высота треугольника АСD, BK – высота треугольника BCD. Так как по условию задачи площади треугольников равны и у них общее основание СD, то высоты этих треугольников равны. АL = BK.
4. АL и BK перпендикулярны СD. Точки В и А расположены по одну сторону относительно прямой СD. АL = BK. Следовательно, прямая АВ || СD (**)
5. Из условий (*), (**) вытекает – АВСD параллелограмм.
Ответ. Доказано. АВСD – параллелограмм.
Задача 3.
На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD отмечены точки М и Н соответственно так, что отрезки ВМ и НD пересекаются в точке О; <ВМD = 95 о,
Решение.
1. В треугольнике DОМ <МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. В прямоугольном треугольнике DНС Тогда <НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Но СD = АВ. Тогда АВ: НD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Ответ: АВ: НD = 2: 1, <А = <С = 30 о, <В = Задача 4.
Одна из диагоналей параллелограмма длиною 4√6, составляет с основанием угол 60 о, а вторая диагональ составляет с тем же основанием угол 45 о. Найти вторую диагональ.
Решение.
1. АО = 2√6. 2. К треугольнику АОD применим теорему синусов. АО/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 о = OD/sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Ответ: 12.
Задача 5.
У параллелограмма со сторонами 5√2 и 7√2 меньший угол между диагоналями равен меньшему углу параллелограмма. Найдите сумму длин диагоналей.
Решение.
Пусть d 1 , d 2 – диагонали параллелограмма, а угол между диагоналями и меньший угол параллелограмма равен ф. 1. Посчитаем двумя разными S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Получим равенство 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф или 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Используя соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма запишем равенство (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2 . ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Составим систему: {d 1 2 + d 2 2 = 296, Умножим второе уравнение системы на 2 и сложим с первым. Получим (d 1 + d 2) 2 = 576. Отсюда Id 1 + d 2 I = 24. Так как d 1 , d 2 – длины диагоналей параллелограмма, то d 1 + d 2 = 24. Ответ: 24.
Задача 6.
Стороны параллелограмма 4 и 6. Острый угол между диагоналями равен 45 о. Найдите площадь параллелограмма.
Решение.
1. Из треугольника АОВ, используя теорему косинусов, запишем соотношение между стороной параллелограмма и диагоналями. АВ 2 = АО 2 + ВО 2 2 · АО · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)cos 45 о; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогично запишем соотношение для треугольника АОD. Учтем, что <АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Получим уравнение d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Имеем систему Вычитая из второго уравнения первое, получим 2d 1 · d 2 √2 = 80 или d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примечание:
В этой и в предыдущей задаче нет надобности, решать полностью систему, предвидя то, что в данной задаче для вычисления площади нам нужно произведение диагоналей. Ответ: 10.
Задача 7.
Площадь параллелограмма равна 96, а его стороны равны 8 и 15. Найдите квадрат меньшей диагонали.
Решение.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Сделаем подстановку в формулу. Получим 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Отсюда sin ВAD = 4 / 5 . 2. Найдём cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . По условию задачи мы находим длину меньшей диагонали. Диагональ ВD будет меньшей, если угол ВАD острый. Тогда cos ВАD = 3 / 5. 3. Из треугольника АВD по теореме косинусов найдём квадрат диагонали ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Ответ: 145.
Остались вопросы? Не знаете, как решить геометрическую задачу? сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Доказательство
Первым делом проведем диагональ AC
. Получаются два треугольника: ABC
и ADC
. Так как ABCD
— параллелограмм, то справедливо следующее: AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2
как лежащие накрест. AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4
как лежащие накрест. Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC
(по второму признаку: и AC
— общая). И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC
, то AB = CD
и AD = BC
. Доказано! 2. Противоположные углы тождественны.
Доказательство
Согласно доказательству свойства 1
мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4
. Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4
. Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC
получаем \angle A = \angle C
, \angle B = \angle D
. Доказано! 3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Доказательство
Проведем еще одну диагональ. По свойству 1
мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD
. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы. Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD
по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD
(напротив углов \angle 2
и \angle 1
) и AO = OC
(напротив углов \angle 3
и \angle 4
соответственно). Доказано! Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры. Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?»
. То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм. 1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
AB = CD
; AB || CD \Rightarrow ABCD
— параллелограмм. Доказательство
Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC
? \triangle ABC = \triangle ADC
по свойству 1
: AB = CD
, AC
— общая и \angle 1 = \angle 2
как накрест лежащие при параллельных AB
и CD
и секущей AC
. Но если \triangle ABC = \triangle ADC
, то \angle 3 = \angle 4
(лежат напротив AB
и CD
соответственно). И следовательно AD || BC
(\angle 3
и \angle 4
- накрест лежащие тоже равны). Первый признак верен. 2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
AB = CD
, AD = BC \Rightarrow ABCD
— параллелограмм. Доказательство
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC
. По свойству 1
\triangle ABC = \triangle ACD
. Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC
и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD
, то есть ABCD
— параллелограмм. Второй признак верен. 3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\angle A = \angle C
, \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD
— параллелограмм. Доказательство
2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ}
(поскольку ABCD
— четырехугольник, а \angle A = \angle C
, \angle B = \angle D
по условию). Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ}
. Но \alpha
и \beta
являются внутренними односторонними при секущей AB
. И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ}
говорит и о том, что AD || BC
. При этом \alpha
и \beta
— внутренние односторонние при секущей AD
. И это значит AB || CD
. Третий признак верен. 4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.
AO = OC
; BO = OD \Rightarrow
параллелограмм. Доказательство
BO = OD
; AO = OC
, \angle 1 = \angle 2
как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD
, \Rightarrow \angle 3 = \angle 4
, и \Rightarrow AB || CD
. Аналогично BO = OD
; AO = OC
, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8
, и \Rightarrow AD || BC
. Четвертый признак верен. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали. Первым делом проведем диагональ \(AC \)
. Получаются два треугольника: \(ABC \)
и \(ADC \)
. Так как \(ABCD \)
- параллелограмм, то справедливо следующее: \(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \)
как лежащие накрест. \(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \)
как лежащие накрест. Следовательно, (по второму признаку: и \(AC \)
- общая). И, значит, \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
, то \(AB = CD \)
и \(AD = BC \)
. Согласно доказательству свойства 1
мы знаем, что \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \)
. Таким образом сумма противоположных углов равна: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \)
. Учитывая, что \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
получаем \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
. По свойству 1
мы знаем, что противоположные стороны тождественны: \(AB = CD \)
. Еще раз отметим накрест лежащие равные углы. Таким образом видно, что \(\triangle AOB = \triangle COD \)
по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, \(BO = OD \)
(напротив углов \(\angle 2 \)
и \(\angle 1 \)
) и \(AO = OC \)
(напротив углов \(\angle 3 \)
и \(\angle 4 \)
соответственно). Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры. Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос - «как узнать?»
. То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм. \(AB = CD \)
; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. Рассмотрим подробнее. Почему \(AD || BC \)
? \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
по свойству 1
: \(AB = CD \)
, \(\angle 1 = \angle 2 \)
как накрест лежащие при параллельных \(AB \)
и \(CD \)
и секущей \(AC \)
. Но если \(\triangle ABC = \triangle ADC \)
, то \(\angle 3 = \angle 4 \)
(лежат напротив \(AD || BC \)
(\(\angle 3 \)
и \(\angle 4 \)
- накрест лежащие тоже равны). Первый признак верен. \(AB = CD \)
, \(AD = BC \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ \(AC \)
. По свойству 1
\(\triangle ABC = \triangle ACD \)
. Из этого следует, что: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \)
и \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \)
, то есть \(ABCD \)
- параллелограмм. Второй признак верен. \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \)
- параллелограмм. \(2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} \)
(поскольку \(\angle A = \angle C \)
, \(\angle B = \angle D \)
по условию). Получается, \(\alpha + \beta = 180^{\circ} \)
. Но \(\alpha \)
и \(\beta \)
являются внутренними односторонними при секущей \(AB \)
. 1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD; ЕF || МN и ЕМ || FN. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема
. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD. Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника. Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ. Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB. Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ. Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD. Следствия:
1
. Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ. Аналогично и ∠С = ∠В. 2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов. Теорема 2.
Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB. Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD. В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма; ∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD; ∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ - их секущая. Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB. Теорема 3.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна
180°
. В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.
(
(Так как в прямоугольном треугольнике катет, который лежит против угла в 30 о, равен половине гипотенузы).
способами его площадь.
{d 1 + d 2 = 140.
{d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
{d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
Признаки параллелограмма
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны тождественны.
2. Противоположные углы тождественны.
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
Признаки параллелограмма
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
Из равенства \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.