Определение
1. Функцияназываетсячетной
(нечетной
),
если вместе с каждым значением переменной
значение –х
также принадлежит
и выполняется равенство
Таким образом, функция может быть четной
или нечетной только тогда, когда ее
область определения симметрична
относительно начала координат на
числовой прямой (числа х
и –х
одновременно принадлежат
).
Например, функция
не является четной и нечетной, так как
ее область определения
не симметрична относительно начала
координат.
Функция
четная, так как
симметрична относительно начала
координат и.
Функция
нечетная, так как
и
.
Функция
не является четной и нечетной, так как
хотя
и симметрична относительно начала
координат, равенства (11.1) не
выполняются. Например,.
График четной функции симметричен
относительно оси Оу
, так как если
точка
тоже принадлежит графику. График нечетной
функции симметричен относительно начала
координат, так как если
принадлежит графику, то и точка
тоже принадлежит графику.
При доказательстве четности или нечетности функции бывают полезны следующие утверждения.
Теорема 1. а) Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
б) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.
в) Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.
г) Если f
– четная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
,
то функция
–
четная.
д) Если f
– нечетная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
и четная (нечетная), то функция
–
четная (нечетная).
Доказательство . Докажем, например, б) и г).
б) Пусть
и
–
четные функции. Тогда,
поэтому.
Аналогично рассматривается случай
нечетных функций
и
.
г) Пусть f – четная функция. Тогда.
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.
Теорема
2. Любую функцию
,
заданную на множествеХ
, симметричном
относительно начала координат, можно
представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
Доказательство
. Функцию
можно записать в виде
.
Функция
– четная, так как
,
а функция
– нечетная, поскольку.
Таким образом,
,
где
–
четная, а
–
нечетная функции. Теорема доказана.
Определение
2. Функция
называетсяпериодической
, если
существует число
,
такое, что при любом
числа
и
также
принадлежат области определения
и выполняются равенства
Такое число T
называетсяпериодом
функции
.
Из определения 1 следует, что если Т
– период функции
,
то и число –Т
тоже
является
периодом функции
(так
как при заменеТ
на –Т
равенство
сохраняется). С помощью метода
математической индукции можно показать,
что еслиТ
– период функцииf
,
то и
,
тоже является периодом. Отсюда следует,
что если функция имеет период, то она
имеет бесконечно много периодов.
Определение 3. Наименьший из положительных периодов функции называется ееосновным периодом.
Теорема 3. ЕслиТ – основной период функцииf , то остальные периоды кратны ему.
Доказательство
. Предположим
противное, то есть что существует период
функцииf
(
>0),
не кратныйТ
. Тогда, разделив
наТ
с остатком, получим
,
где
.
Поэтому
то есть
– период функцииf
,
причем
,
а это противоречит тому, чтоТ
–
основной период функцииf
.
Из полученного противоречия следует
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Хорошо известно, что тригонометрические
функции являются периодическими.
Основной период
и
равен
,
и
.
Найдем период функции
.
Пусть
- период этой функции. Тогда
(так как
.
илиилиили
.
Значение T
, определяемое
из первого равенства, не может быть
периодом, так как зависит отх
, т.е.
является функцией отх
, а не постоянным
числом. Период определяется из второго
равенства:
.
Периодов бесконечно много, при
наименьший
положительный период получается при
:
.
Это – основной период функции
.
Примером более сложной периодической функции является функция Дирихле
Заметим, что если T
–
рациональное число, то
и
являются рациональными числами при
рациональномх
и иррациональными
при иррациональномх
. Поэтому
при любом рациональном числе T . Следовательно, любое рациональное числоT является периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное числоможно сделать выборомn сколь угодно близким к нулю).
Теорема
4. Если функцияf
задана на множествеХ
и имеет
периодТ
, а функцияg
задана на множестве
,
то сложная функция
тоже имеет периодТ
.
Доказательство . Имеем, поэтому
то есть утверждение теоремы доказано.
Например, так как cos
x
имеет период
,
то и функции
имеют период
.
Определение 4. Функции, не являющиеся периодическими, называютсянепериодическими .
Функция
называется четной (нечетной), если для
любогои выполняется равенство
.
График четной
функции симметричен относительно оси
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции
1)
;
2)
;
3)
.
Решение .
1) Функция определена
при
.
Найдем
.
Т.е.
.
Значит, данная функция является четной.
2) Функция определена
при
Т.е.
.
Таким образом, данная функция нечетная.
3) функция определена для , т.е. для
,
.
Поэтому функция не является ни четной,
ни нечетной. Назовем ее функцией общего
вида.
3. Исследование функции на монотонность.
Функция
называется возрастающей (убывающей) на
некотором интервале, если в этом интервале
каждому большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции.
Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.
Если функция
дифференцируема на интервале
и имеет положительную (отрицательную)
производную
,
то функция
возрастает (убывает) на этом интервале.
Пример 6.3 . Найти интервалы монотонности функций
1)
;
3)
.
Решение .
1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .
Производная равна
нулю, если
и
.
Область определения – числовая ось,
разбивается точками
,
на интервалы. Определим знак производной
в каждом интервале.
В интервале
производная отрицательна, функция на
этом интервале убывает.
В интервале
производная положительна, следовательно,
функция на этом интервале возрастает.
2) Данная функция
определена, если
или
.
Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.
Таким образом, область определения функции
Найдем производную
,
,
если
,
т.е.
,
но
.
Определим знак производной в интервалах
.
В интервале
производная отрицательна, следовательно,
функция убывает на интервале
.
В интервале
производная положительна, функция
возрастает на интервале
.
4. Исследование функции на экстремум.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует такая окрестность точки
,
что для всех
из этой окрестности выполняется
неравенство
.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Если функция
в точке
имеет экстремум, то производная функции
в этой точке равна нулю или не существует
(необходимое условие существования
экстремума).
Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.
5. Достаточные условия существования экстремума.
Правило 1
.
Если при переходе (слева направо) через
критическую точку
производная
меняет знак с «+» на «–», то в точке
функция
имеет максимум; если с «–» на «+», то
минимум; если
не меняет знак, то экстремума нет.
Правило 2
.
Пусть в точке
первая производная функции
равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля. Если
,
то
– точка максимума, если
,
то
– точка минимума функции.
Пример 6.4 . Исследовать на максимум и минимум функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Найдем производную
и решим уравнение
,
т.е.
.Отсюда
– критические точки.
Определим знак
производной в интервалах
,
.
При переходе через
точки
и
производная меняет знак с «–» на «+»,
поэтому по правилу 1
– точки минимума.
При переходе через
точку
производная меняет знак с «+» на «–»,
поэтому
– точка максимума.
,
.
2) Функция определена
и непрерывна в интервале
.
Найдем производную
.
Решив уравнение
,
найдем
и
– критические точки. Если знаменатель
,
т.е.
,
то производная не существует. Итак,
– третья критическая точка. Определим
знак производной в интервалах.
Следовательно,
функция имеет минимум в точке
,
максимум в точках
и
.
3) Функция определена
и непрерывна, если
,
т.е. при
.
Найдем производную
.
Найдем критические
точки:
Окрестности точек
не принадлежат области определения,
поэтому они не являются т. экстремума.
Итак, исследуем критические точки
и
.
4) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Используем правило 2. Найдем производную
.
Найдем критические точки:
Найдем вторую
производную
и определим ее знак в точках
В точках
функция имеет минимум.
В точках
функция имеет максимум.
Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике. Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.
Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными.
Дадим более строгое определение. Рассмотрим некоторую функцию f (x), которая задана в области D. Она будет четной, если для любой точки x, находящейся в области определения:
- -x (противоположная точка) также лежит в данной области определения,
- f (-x) = f (x).
Из приведенного определения следует условие, необходимое для области определения подобной функции, а именно, симметричность относительно точки О, являющейся началом координат, поскольку если некоторая точка b содержится в области определения четной функции, то соответствующая точка - b тоже лежит в этой области. Из вышесказанного, таким образом, вытекает вывод: четная функция имеет симметричный по отношению к оси ординат (Oy) вид.
Как на практике определить четность функции?
Пусть задается с помощью формулы h(x)=11^x+11^(-x). Следуя алгоритму, вытекающему непосредственно из определения, исследуем прежде всего ее область определения. Очевидно, что она определена для всех значений аргумента, то есть первое условие выполнено.
Следующим шагом подставим вместо аргумента (x) его противоположное значение (-x).
Получаем:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Поскольку сложение удовлетворяет коммутативному (переместительному) закону, то очевидно, h(-x) = h(x) и заданная функциональная зависимость - четная.
Проверим четность функции h(x)=11^x-11^(-x). Следуя тому же алгоритму, получаем, что h(-x) = 11^(-x) -11^x. Вынеся минус, в итоге, имеем
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следовательно, h(x) - нечетная.
Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.
Четные функции обладают рядом интересных свойств:
- в результате сложения подобных функций получают четную;
- в результате вычитания таких функций получают четную;
- четной, также четная;
- в результате умножения двух таких функций получают четную;
- в результате умножения нечетной и четной функций получают нечетную;
- в результате деления нечетной и четной функций получают нечетную;
- производная такой функции - нечетная;
- если возвести нечетную функцию в квадрат, получим четную.
Четность функции можно использовать при решении уравнений.
Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной. Полученные корни уравнения необходимо объединить с противоположными числами. Один из них подлежит проверке.
Это же успешно применяют для решения нестандартных задач с параметром.
Например, есть ли какое-либо значение параметра a, при котором уравнение 2x^6-x^4-ax^2=1 будет иметь три корня?
Если учесть, что переменная входит в уравнение в четных степенях, то понятно, что замена х на - х заданное уравнение не изменит. Отсюда следует, что если некоторое число является его корнем, то им же является и противоположное число. Вывод очевиден: корни уравнения, отличные от нуля, входят в множество его решений «парами».
Ясно, что само число 0 не является, то есть число корней подобного уравнения может быть только четным и, естественно, ни при каком значении параметра оно не может иметь трех корней.
А вот число корней уравнения 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.
Исследование функции.
1) D(y) – Область опрделения: множество всех тех значений переменной х. при которых алгебраические выражения f(x) и g(x) имеют смысл.
Если функция задана формулой, то область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых формула имеет смысл.
2) Свойства функции: четность/нечетность, периодичность:
Нечётными и чётными называются функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента.
Нечётная функция - функция, меняющая значение на противоположное при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно центра координат).
Чётная функция - функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимой переменной (симметричная относительно оси ординат).
Ни чётная ни нечётная функция (функция общего вида) - функция, не обладающая симметрией. В эту категорию относят функции, не подпадающие под предыдущие 2 категории.
Функции, не принадлежащие ни одной из категорий выше, называются ни чётными ни нечётными (или функциями общего вида).
Нечётные функции
Нечётная степень где - произвольное целое число.
Чётные функции
Чётная степень где - произвольное целое число.
Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.
3) Нули (корни) функции - точки, где она обращается в ноль.
Нахождение точки пересечения графика с осью Oy . Для этого нужно вычислить значение f (0). Найти также точки пересечения графика с осью Ox , для чего найти корни уравнения f (x ) = 0 (или убедиться в отсутствии корней).
Точки, в которых график пересекает ось , называют нулями функции . Чтобы найти нули функции нужно решить уравнение , то есть найти те значения «икс» , при которых функция обращается в ноль.
4) Промежутки постоянства знаков, знаки в них.
Промежутки, где функция f(x) сохраняет знак.
Интервал знакопостоянства – это интервал, в каждой точке которого функция положительна либо отрицательна.
ВЫШЕ оси абсцисс.
НИЖЕ оси .
5) Непрерывность (точки разрыва, характер разрыва, ассимптоты).
Непрерывная функция - функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.
Устранимые точки разрыва
Если предел функции существует , но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:
,
то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе -устранимая особая точка).
Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить 
,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной
или доопределением
функции по непрерывности
,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого
разрыва.
Точки разрыва первого и второго рода
Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов :
если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода . Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода .
Аси́мпто́та - прямая , обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви вбесконечность.
Вертикальная
Вертикальная
асимптота - прямая предела 
.
Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:
Горизонтальная
Горизонтальная асимптота - прямая вида при условии существования предела
.
Наклонная
Наклонная асимптота - прямая вида при условии существования пределов
Замечание: функция может иметь не более двух наклонных (горизонтальных) асимптот.
Замечание: если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует.
если в
п. 2.), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, 
.
6) Нахождение промежутков монотонности. Найти интервалы монотонности функции f (x )(то есть интервалы возрастания и убывания). Это делается с помощью исследования знака производной f (x ). Для этого находят производную f (x ) и решают неравенство f (x )0. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция f (x )возрастает. Там, где выполнено обратное неравенство f (x )0, функция f (x )убывает.
Нахождение локального экстремума. Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы. Вычислить значение функции в этих точках. Если функция имеет критические точки, не являющиеся точками локального экстремума, то полезно вычислить значение функции и в этих точках.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = f(x) на отрезке (продолжение)
|
1. Найти производную функции: f (x ). 2. Найти точки, в которых производная равна нулю: f (x )=0x 1, x 2 ,... 3. Определить принадлежность точек х 1 , х 2 , … отрезку [a ; b ]: пусть x 1a ;b , а x 2a ;b . |
Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x
(переменной x
), при которых функция y = f(x)
определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y
, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a
принадлежит области определения, то точка -a
также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x
f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция
обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x
, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.
