Введение
Все разделы начертательной геометрии пользуются одним методом – методом проецирования, поэтому чертежи, применяемые не только в начертательной геометрии, называются проекционные чертежи .
Метод проецирования заключается в том, что любая из точек множества точек пространства может быть спроецирована с помощью проецирующих лучей на любую поверхность. Для этого представим некоторую заданную поверхность (рис.1) и точку А в пространстве. При проведении луча S через точку А в направлении поверхности последний пересечет ее в точке А 1 . Точку А называют проецируемой точкой . Плоскость α, на которой получают проекцию, называют плоскость проекций . Точка пересечения луча с плоскостью называется проекцией точки А . Прямая А А 1 (луч), называется проецирующим лучом .
Рис.1. |
Центральный (конический или полярный) метод проецирования основан на том, что при проецировании на плоскость ряда точек (А , B , C и т.д.) все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проецирования , или полюсом .
Представим в пространстве треугольник АВС и проецирующие лучи, проходящие через данный полюс S и через точки АВС треугольника, проведенные до пересечения с плоскостью α. Треугольник А 1 B 1 C 1 будет центральной проекцией треугольника АВС (рис.2).
Метод центрального проецирования не удовлетворяет целому ряду условий, необходимых для технического чертежа, а именно: не дает однотипности изображения, полной ясности всех геометрических форм, не обладает удобоизмеримостью, не имеет простоты изображения.
Метод параллельного (косоугольного) проецирования заключается в том, что все проецирующие лучи, проходящие через точки треугольника АВС , будут параллельны между собой (рис.3). Этот метод вытекает из метода центрального проецирования, при этом полюс должен быть удален на бесконечно большое расстояние от плоскости, на которую проецируется предмет.
Ортогональный (прямоугольный) метод проецирования – метод, когда проецирующие лучи параллельны между собой и перпендикулярны к плоскости проекций (рис.4). Данный метод – частный случай параллельного проецирования.
Таким образом, любая точка пространства может быть спроецирована на плоскости проекций: на горизонтальную П 1 , фронтальную П 2 и профильную П 3 . Горизонтальная проекция точки обозначается А 1 или А ′, фронтальная А 2 или А ″, профильная А 3 или А ′″ (рис.5).
Проекцией точки А на плоскость проекций π 1 называется точка А 1 пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций π 1 , проходящей через точку А, (рис. 1.1):
Проекция любой геометрической фигуры есть множество проекций всех ее точек. Направление проецирующих прямых и положение плоскостей π 1 определяют аппарат проецирования.
Центральным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие лучи исходят из одной точки S - центра проецирования (рис. 1.2).
Параллельным проецированием называют такое проецирование, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению S (рис. 1.3).
.
Рис. 1.1. Проекция точки А на плоскость проекций π 1
.
Рис. 1.2. Пример центрального проецирования
.
Рис. 1.3. Пример параллельного проецирования
Параллельное проецирование представляет собой частный случай центрального проецирования, когда точка S находится на бесконечно большом расстоянии от плоскости проекций π 1 .
При заданном аппарате проецирования каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций.
Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А 1 может соответствовать бесчисленное множество точек А ’ , А ’’ , …, расположенных на проецирующей прямой (рис. 1.4).
Для определения положения точки в пространстве при любом аппарате проецирования необходимо иметь две ее проекции, полученных при двух различных направлениях проецирования (или при двух различных центрах проецирования).
.
Рис. 1.4. Пример расположения множества точек на проецирующей прямой
Так, из рис. 1.5 видно, что две проекции точки А (А 1 и А 2), полученные при двух направлениях проецирования S 1 и S 2 , определяют единственным образом положение самой точки А в пространстве - как пересечение проецирующих прямых 1 и 2 , проведенных из проекций А 1 и А 2 параллельно направлениям проецирования S 1 и S 2 .
.
Рис. 1.5. Определение положения точки А в пространстве
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
>>Черчение: Проецирование
Процесс получения изображения предмета на плоскости (плоскостях).
Рассмотрим сущность проецирования на примере получения изображения объекта на одну плоскость. Для этого выберем плоскость, которую назовем плоскостью проекций. Перед ней поместим любой объект, например, прямую АВ. Перед прямой расположим центр проецирования, из которого направим к плоскости проекций проецирующие лучи через все точки прямой АВ до пересечения их с плоскостью проекций. На плоскости проекций получим изображение совокупности точек, которое будет являться проекцией данной прямой АВ (рис. 77).
Таким образом, проекция - это изображение объекта, полученное при проецировании его на плоскость проекций.
Проекцию обозначают малыми буквами латинского алфавита (а, б). Различают центральное (рис. 77) и параллельное проецирование (рис. 78). При центральном проецировании проецирующие лучи исходят из одной точки - центра проецирования (в). При параллельном проецировании все проецирующие лучи параллельны ме-
жду собой, поскольку центр проецирования удален в бесконечность.
Метод центрального проецирования используется в архитектуре, строительстве, а также в академическом рисовании.
В науке , технике, производстве применяют параллельные проекции, так как они достаточно наглядны и выполнять их проще, чем центральные.
Параллельное проецирование подразделяется на прямоугольное (рис. 79) и косоугольное (рис. 80).При прямоугольном (ортогональном) проецировании проецирующие лучи падают на плоскость под прямым углом (рис. 79). При косоугольном проецировании проецирующие лучи падают на плоскость под углом, отличным от прямого
Вопросы и задания
1. Что называется проецированием?
2. Дайте определение понятиям «плоскость проекций», «проекция», «проецирующие лучи», «центр проецирования».
3. На рис. 81 показано, что вёдро стоит под душем, а на рис. 82 - под отвесным дождем. Если через небольшой промежуток времени отключить душ и убрать ведро, то можно обнаружить, что оно оставило сухое пятно большего диаметра. Если скоро пройдет дождь , то ведро, стоящее под отвесным дождем, оставит сухим пятно, равное диаметру ведра. Какое «проецирование» дали струи воды в каждом случае?
Н.А.Гордеенко, В.В.Степакова - Черчение.,9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов
Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.
Известны два метода проецирования: центральное и параллельное .
Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С ,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S ) прямой линии (SA , SB , >… — проецирующего луча ).
Рисунок 1.1 – Центральное проецирование
Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):
S – центр проецирования (глаз наблюдателя);
π 1 – плоскость проекций;
A, B, C
SA , SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).
Примечание : левой клавишей мыши можно переместить точку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и можно будет ее переместить по вертикали.
Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.
Свойство 1 . Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.
Докажем это утверждение.
На рисунке 1.1: точка А 1 – центральная проекция точки А на плоскости проекций π 1 . Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С . Центральная проекция точки С (С 1) на плоскости проекций π 1 совпадает с проекцией точки А (А 1):
- С ∈ SA ;
- SC ∩ π 1 =C 1 → C 1 ≡ A 1 .
Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.
Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым , введём еще одну плоскость проекций (π 2) и ещё один центр проецирования (S 2) (Рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств
Построим проекции точки А на плоскости проекций π 2 . Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А 1 на плоскость π 1 и А 2 на π 2 одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В ).
Свойство 2 . Проекция прямой есть прямая.
Докажем данное свойство.
Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ , задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π 1 =А 1 В 1 , где А 1 В 1 – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ .
Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.
1.2. Параллельное проецирование
Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:
- Удалим оба центра проекции в бесконечность. Таким образом, добьемся того, что проецирующие лучи из каждого центра станут параллельными, а, следовательно, соотношение истинной длины любого отрезка прямой и длины его проекции будут зависеть только от угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций и не зависят от положения центра проекций;
- Зафиксируем направление проецирования относительно плоскостей проекций;
- Расположим плоскости проекций перпендикулярно друг другу, что позволит легко переходить от изображения на плоскостях проекций к реальному объекту в пространстве.
Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P , называется параллельным.
Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования
Введём обозначения:
Р – направление проецирования;
π 1 – горизонтальная плоскость проекций;
A, B – объекты проецирования – точки;
А 1 и В 1 – проекции точек А и В на плоскость проекций π 1 .
Параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, параллельной заданному направлению проецирования Р , с плоскостью проекций π 1 .
Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р . Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π 1 в точке А 1 . Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку В пересечет плоскость проекций в точке В 1 . Соединив точки А 1 и В 1 , получим отрезок А 1 В 1 – проекция отрезка АВ на плоскость π 1 .
1.3. Ортогональное проецирование. Метод Монжа
Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p 1 , то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4),или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π 1 , то проецирование называется косоугольным .
Четырехугольник АА 1 В 1 В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π 1 (γ⊥π 1). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.
Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)
Основоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (Рисунок 1.5).
До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.
Гаспар Монж родился 9 мая 1746 года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.
Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.
В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive ) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie , 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.
В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.
Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:
1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А , рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π 1 и π 2 (Рисунок 1.6).
Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (координатные оси) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.
Рисунок 1.6 – Модель построения проекций точки
π 1 – горизонтальная (первая) плоскость проекций
π 2 – фронтальная (вторая) плоскость проекций
π 1 ∩π 2 — ось проекций (обозначим π 2 /π 1)
Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π 1 и π 2 .
Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π 1 и π 2 и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А 1 – горизонтальная (первая) проекция точки А; А 2 – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА 1 и АА 2 – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π 1 и π 2 . Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π 1 и π 2:
АА 1 ⊥π 1
А 2 А 0 ⊥π 2 /π 1 АА 1 = А 2 А 0 — расстояние от точки А до плоскости π 1
АА 2 ⊥π 2
А 1 А 0 ⊥π 2 /π 1 АА 2 = А 1 А 0 — расстояние от точки А до плоскости π 2
2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π 2 /π 1 плоскости проекций в одну плоскость (π 1 с π 2), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 1.6), получим изображение, называемое прямоугольным чертежом (Рисунок 1.7):
Рисунок 1.7 – Ортогональный чертеж
Прямоугольный или ортогональный носит название эпюр Монжа .
Прямая А 2 А 1 называется линией проекционной связи , которая соединяет разноимённые проекции точки (А 2 — фронтальную и А 1 — горизонтальную) всегда перпендикулярна оси проекций (оси координат) А 2 А 1 ⊥π 2 /π 1 . На эпюре отрезки, обозначенные фигурными скобками, представляют собой:
- А 0 А 1 – расстояние от точки А до плоскости π 2 , соответствующее координате y А;
- А 0 А 2 – расстояние от точки А до плоскости π 1 , соответствующее координате z А.
1.4. Прямоугольные проекции точки. Свойства ортогонального чертежа
1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.
2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.
Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π 1 в исходное положение (когда π 1 ⊥π 2). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А 1 и А 2 восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π 1 и π 2 , соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А . Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 1.8).
Рисунок 1.8 – Построение эпюра точки
Введём третью (профильную) плоскость проекций π 3 перпендикулярную π 1 и π 2 (задана осью проекций π 2 /π 3).
Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А ‘ 0 A 3 позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π 2 . Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A (X A ; Y A ; Z A) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A 1 =(X A ; Y A); A 2 =(X A ; Z A)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 1.9, а и б).
Рисунок 1.9 – Построение эпюра точки по её координатам
По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:
- А — А 1 лежит под осью координат X , а фронтальная — А 2 – над осью X , то можно говорить, что точка А принадлежит 1-му квадранту;
- если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А 1 лежит над осью координат X , а фронтальная — А 2 – под осью X , то точка А принадлежит 3-му квадранту;
- А — А 1 и А 2 лежат над осью X , то точка А принадлежит 2-му квадранту;
- если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А 1 и А 2 лежат под осью X , то точка А принадлежит 4-му квадранту;
- если на эпюре проекция точки совпадает с самой точкой, то значит – точка принадлежит плоскости проекций;
- точка, принадлежащая плоскости проекций или оси проекций (оси координат), называется точкой частного положения .
Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.
| X | Y | Z | |
|---|---|---|---|
| I | + | + | + |
| II | + | — | + |
| III | + | — | — |
| IV | + | + | — |
Упражнение
Построить ортогональные проекции точки с координатами А (60, 20, 40) и определить в каком квадранте расположена точка.
Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты X A =60 , затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX , по которой вверх отложить значение координаты Z A =40 , а вниз – значение координаты Y A =20 (Рисунок 1.10). Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.
Рисунок 1.10 – Решение задачи
1.5. Задачи для самостоятельного решения
1. По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций (Рисунок 1.11).
Рисунок 1.11
2. Достройте недостающие ортогональные проекции точек А , В , С на плоскости проекций π 1 , π 2 , π 3 (Рисунок 1.12).
Рисунок 1.12
3. Постройте проекции точки:
- Е , симметричной точке А относительно плоскости проекций π 1 ;
- F , симметричной точке В относительно плоскости проекций π 2 ;
- G , симметричной точке С относительно оси проекций π 2 /π 1 ;
- H , симметричной точке D относительно биссекторной плоскости второго и четвертого квадрантов.
4. Постройте ортогональные проекции точки К , расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π 1 на 40 мм, от π 2 — на 15 мм.
7.1. Многообразие геометрических форм в природе . На уроках математики вы уже познакомились с некоторыми геометрическими фигурами. Под фигурой понимают любую совокупность (множество) точек. Всякую сложную фигуру можно разделить на более простые.
Если все точки фигуры лежат в одной плоскости, фигуру называют плоской: треугольник, квадрат и др. Совокупность точек, расположенных в пространстве, образует пространственную фигуру: куб, цилиндр и др. Фигуры в пространстве называют телами.
Предметы, которые нас окружают, детали машин имеют, как правило, сложную реальную геометрическую форму. Однако, присмотревшись к ним внимательно, можно заметить, что некоторые из них состоят из одного или нескольких простых геометрических тел или их видоизмененных частей. Такими геометрическими телами, образующими форму предметов, являются призмы (рис. 22, а), пирамиды (рис. 22, б), цилиндры (рис. 23, а), конусы (рис. 23, б), шары и др.
Рис. 22
Рис. 23
Форма каждого геометрического тела имеет свои характерные признаки. По ним мы отличаем призму от цилиндра, пирамиду от конуса и т. п. Эти признаки используются и при построении чертежей геометрических тел или состоящих из них предметов и деталей. Однако, прежде чем выполнять такие чертежи, выясним, какие правила положены в основу способов их построения.
- Какие геометрические тела вам известны?
- Посмотрите вокруг себя и найдите в форме окружающих предметов простые геометрические тела.
7.2. Общие сведения о проецировании . Изображения предметов на чертежах в соответствии с правилами государственного стандарта выполняют по способу (методу) прямоугольного проецирования. Проецированием будем называть процесс получения проекций предмета.
Рассмотрим пример. Возьмем в пространстве произвольную точку А и какую-нибудь плоскость. Обозначим эту плоскость, например, прописной буквой П (пи) греческого алфавита с индексом один - т. е. П 1 (рис. 24). Проведем через точку А прямую так, чтобы она пересекла плоскость П 1 в некоторой точке А". Тогда точка А" будет проекцией точки А. Проекции точек будем обозначать теми же буквами, что и сами точки, но со штрихом. Плоскость, на которой получается проекция, называется плоскостью проекций . Прямая АА" называется проецирующим лучом . С его помощью точка А проецируется на плоскость П 1 .
Рис. 24
Примечание. Существуют и другие обозначения проекций точек - A 1 , A 2 , А 3 - и плоскостей проекций - Н, V, W.
Указанным способом могут быть построены проекции всех точек любой фигуры. Так, чтобы получить проекцию А"B" отрезка АВ прямой (рис. 25, а), необходимо провести проецирующие лучи через две точки отрезка - А и В. При этом, если прямая или ее отрезок совпадают по направлению с проецирующим лучом (отрезок CD на рис. 25, б), они проецируются на плоскость проекций в точку. На изображениях проекции совпадающих точек обозначают знаком =, например: C = D", как на рисунке 25, б.
Рис. 25
Для построения проекции какой-либо фигуры необходимо через ее точки провести воображаемые проецирующие лучи до пересечения их с плоскостью проекций. Проекции всех точек фигуры на плоскости и образуют проекцию заданной фигуры.
Рассмотрим, например, получение проекции такой геометрической фигуры, как треугольник (рис. 26).
Рис. 26
Проекцией точки А на заданную плоскость П 1 будет точка А" как результат пересечения проецирующего луча АА" с плоскостью проекций. Проекциями точек Б и С будут точки В" и С. Соединив на плоскости точки А", В" и С отрезками прямых, получим фигуру А"В"С, которая и будет проекцией заданной фигуры.
В дальнейшем под термином проекция мы будем понимать изображение предмета на плоскости проекций.
Слово «проекция» латинское. В переводе оно означает «бросать (отбрасывать) вперед».
Положите на бумагу какой-нибудь плоский предмет и обведите его карандашом. Вы получите изображение, соответствующее проекции этого предмета. Примерами проекций являются фотографические снимки, кинокадры и др.
Изображения предметов, полученные путем проецирования, будем называть проекционными.
- Что представляет собой проецирование?
- Как строить на плоскости проекцию точки? проекцию фигуры?
7.3. Центральное и параллельное проецирование . Если проецирующие лучи, с помощью которых строится проекция предмета, исходят из одной точки, проецирование называется центральным (рис. 27). Точка, из которой исходят лучи, называется центром проецирования . Полученная при этом проекция называется центральной.
Рис. 27
Центральную проекцию часто называют перспективной. Примерами центральной проекции являются фотоснимки и кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электрической лампочки, и др. Центральные проекции применяют в рисовании с натуры.
Если проецирующие лучи параллельны друг другу (рис. 28), то проецирование называется параллельным , а полученная проекция - параллельной . Параллельной проекцией можно условно считать солнечные тени предметов. Примеры параллельного проецирования приведены на рисунках 25, а и 26.
Рис. 28
Строить изображение предмета при параллельном проецировании проще, чем при центральном. Так, если отрезок АВ (рис. 28) или любая плоская фигура, как, например, на рисунке 29, параллельны плоскости проекций, то их проекции и сами проецируемые фигуры равны.
Рис. 29
При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одинаковым углом. Если это любой угол, который не равен 90°, как на рисунке 29, а или на рисунке 25, а, то проецирование называется косоугольным.
В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (см. рис. 29, б), т. е. составляют с ней угол 90°, проецирование называется прямоугольным (см. рис. 26). Полученная при этом проекция называется прямоугольной .
- Какое проецирование называется центральным? параллельным? косоугольным? прямоугольным?
- Почему строить изображение в параллельной проекции проще, чем в центральной?
7.4. Получение аксонометрических проекций. В технической графике особую группу составляют проекции, которые получены путем параллельного проецирования предмета вместе с осями х, у и z пространственной системы прямоугольных координат на произвольную плоскость (рис. 30). Обозначим ее П 0 . Полученную таким образом проекцию на плоскости П 0 называют аксонометрической . В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций аксонометрические проекции могут быть как прямоугольными, так и косоугольными.
Рис. 30
Слово «аксонометрия» - греческое. В переводе оно означает «измерение по осям».
Проекции х 0 , у 0 и z 0 осей координат на плоскости проекций называют аксонометрическими . Когда строят аксонометрические проекции предметов, размеры откладывают по осям или параллельно им.
Аксонометрические проекции относят к числу наглядных изображений. По ним можно легко получить общее представление о внешней форме предмета.
Однако на аксонометрических проекциях предметы получаются с искажениями. Например, окружности проецируются в эллипсы, прямые углы - в тупые или острые. Искажаются и некоторые размеры предмета. Поэтому такие проекции применяют в основном при выполнении технических рисунков.
Для получения изображений на чертежах используют метод прямоугольного проецирования на одну, две и более плоскости проекций.
- Какие проекции называют аксонометрическими?
- Какие аксонометрические проекции получаются в зависимости от направления проецирования?
