Бочин В.В. 1
Безобразова О.И. 1
1 ГБОУ АО «Православная гимназия имени священномученика Иосифа, митрополита Астраханского и благодетельницы Веры Жилкиной»
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проекта
Тема «Лента Мёбиуса» занимает важное место в изучении математики. Эта тема является важной интересной темой курса школьной математики.
Чудесные свойства этого простого, и в то же время загадочного листа бумаги в разных странах породили множество научных трудов, изобретений (и полезных, и нереальных), а также многочисленные фантастические рассказы, повести и романы.
Цели проекта
Расширение общего кругозора.
Сформировать представление о ленте Мёбиуса.
Понять, чем особенна лента Мебиуса.
Задачи исследования
Разобраться с понятием «лента Мёбиуса».
Выявить, что такое лента Мёбиуса и зачем она необходима.
Определить, чем интересна лента Мёбиуса.
Ознакомиться с тем, что означает лента Мёбиуса.
Разобраться, для чего используется лента Мебиуса.
Выявить применение ленты Мёбиуса в жизни.
Методы исследования
Анализ математической литературы, учебников и информационных сайтов по теме проекта.
Беседа с учителем математики.
Объект исследования: Лента Мёбиуса.
Гипотеза: если мы исследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её свойства и практическое применение.
Что такое лента Мебиуса?
Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.
Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, - это объект изучения такой математической дисциплины, как топология , исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что она имеет всего одну сторону и край никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью, где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
История создания
Существует интересная легенда об открытии листа Мёбиуса. А.Ф.Мёбиус (1790-1868) ,ученик «короля математиков» Гаусса, был профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного, доброго чудака студенты боготворили. Он любил ошарашивать их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро…
На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.
На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.
Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.
Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.
Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мёбиуса.
Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.
Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг (1808 - 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.
Особенности ленты Мёбиуса
Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как будто уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница . Если продолжить эксперимент и разрезать ленту Мебиуса точно посередине, то, ожидая получить в результате две ленты, мы с удивлением обнаружим еще одну такую ленту, разрезав которую так же еще раз, получим две намотанные друг на друга ленты. Не останавливаясь на достигнутом, попробуем (предварительно склеив новую ленту Мебиуса) разрезать бумажную полосу, отступив от края треть ее ширины. У нас в руках останутся два «спаянных» колечка, одно из которых (тонкое) — классическая лента Мебиуса, а широкая — «афганская» (т.е. одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганская лента ). Одним словом, чем больше полуоборотов в ленте Мебиуса, тем более причудливые и затейливые фигуры получатся в результате.
Лента Мёбиуса - это кольцо, которое в каждой точке имеет соответственно по две составляющие протяжённость грани. Парадокс - это ситуация (высказывание, утверждение, суждение или вывод), которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.
Истину или ложь утверждает человек, который говорит «я лгу», и больше ничего не говорит?
Критянин Эпименид сказал:
«Все критяне лжецы».
Эпименид сам критянин.
Следовательно, он лжец. Если Эпименид лгун, тогда его заявление, что все критяне лгуны - ложно. Значит, критяне не лгуны.
Между тем Эпименид, как определено условием, - критянин, следовательно, он не лгун, и поэтому его утверждение «все критяне лгуны» - истинно.
Таким образом, мы пришли к взаимоисключающим предложениям.
Одно из них утверждает, что высказывание «все критяне лгуны», является ложным, а другое, наоборот, на то, что высказывание истинное.
Притом как в одном, так и в другом случае наши рассуждения логически строги, в них нет ни намеренных, ни непреднамеренных ошибок. Так, где же истина?
Было приложено немало усилий объяснить этот странный результат.
Имеется, например, такое решение.
Точно так же тот, кто считается правдивым, разве всегда утверждает лишь правду?
В практике общения ложное обычно перемешано с истиной, и мы не найдем такого отпетого лгуна, который только бы лгал. Его легко изобличить, и тогда понимай все, что им сказано, наоборот.
В действительности, однако, положение гораздо сложнее. Парадоксу посвящена обширная литература. Он на самом деле вызывает недоумение. Легенда утверждает даже, что древнегреческий философ Кронос, испытав неудачу в попытках решить этот парадокс, от огорчения умер. С тех пор внимание к парадоксу лжеца не затухало.
Свойства ленты Мёбиуса
Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
Наличие одной стороны.
Односторонность - топологическое свойство листа характерное только для него. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю - другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
Непрерывность
Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
Связность
Разрезая яблоко, мы получим две части. А можем ли мы одним действием разделить кольцо на две части? Нет, для этого мы должны сделать два разреза. Поэтому любой тополог скажет, что квадрат-односвязен , кольцо и оправа от очков - двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры - многосвязны. Ну, а лента Мёбиуса? Конечно двусвязена, т.к. если разрезать ее вдоль, она превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Причём она будет больше и тоньше исходной. Если перекрутить ленту на два оборота, то лента становится односвязным. Три оборота - связность снова равна двум.
Связность заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
Ориентированность
В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
Если на внутреннею сторону обычного кольца посадить бумажного паука, а на внешнюю - бумажную муху и разрешить и разрешить им ползать как угодно, запретив только перелазить через край кольца, то паук не сможет добраться до мухи. Если тоже самое проделать на ленте Мебиуса, то паук быстро догонит муху.
«Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую со всеми другими. Хроматический номер ленты Мёбиуса равен 6. А хроматический номер простого кольца из бумаги равен 5.
Чудесные свойства этого простого и загадочного листа бумаги в разных странах породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленные фантастические рассказы, повести и романы.
Изготовление ленты Мебиуса
Модель ленты Мебиуса очень легко сделать, для этого нам нужны лишь ножницы, клей и бумага. Вырезаем из бумаги длинную полоску, после этого склеиваем концы этой полоски, предварительно перевернув её.
Лента Мебиуса - это бумажная лента, повернутая одним кольцом на пол - оборота и склеенная с его другим кольцом.
Применение ленты Мебиуса
В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 180 градусов проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех. На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.
Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.
В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Изобрели магнитофон — и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое.
В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной ленты.
Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу в химчистки — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.
В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.
И это только малая часть примеров использования этой удивительной поверхности.
В генетике есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.
Физики утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника!
Российский математик Евгений Старостин и его коллега Герт ван дер Хейден из Университетского Колледжа в Лондоне в 2007 г. решили загадку, которая озадачила математиков в течение более чем 75 лет. Они поняли, как можно предсказать трехмерную форму фигуры, которую образовывает полоса Мёбиуса.
Полоса сделана так, что математики называют её «развёртывающеёся поверхностью». Это значит, что она может быть сплющена, при этом её форма не разрушится (в отличие от сферы - полоса образующая её непременно сломается при сплющивании). Если полоса формирует петлю Мёбиуса, то при разъединении концов она может вернуться в первоначальное состояние, подобно эластической резинке затрачивая на это минимум энергии.
Для решения поставленной задачи, учёным потребовались математические формулы, выведенные более двадцати лет назад. Старостин в интервью сказал следующее: «Если вы попробуете выписать уравнения, необходимые для понимания формы полосы Мёбиуса, без этих старых математических инструментов, то вы застрянете - это крайне сложно, я пробовал, и у меня не получилось».
Используя старые уравнения, два исследователя показали, что форма ленты Мёбиуса зависит от длины и ширины прямоугольника, образующего петлю.
Ученые, специализирующиеся в биологии, медицине, физике, астрономии и других областях, могли бы использовать модель. «Уравнения применимы к любой прямоугольной полосе, которая скручивается и сгибается», - говорит Джон Маддокс, математик в швейцарском Технологическом институте в Лозанне.
Они могли бы быть полезны при проектировании углеродных нанотрубок. Тот же самый подход мог бы применяться при изучении биологических молекул, помочь в создании сложных лекарств.
В астрономии ученые высказывают предположения о том, как выглядит наша вселенная. Одно из них о том, что наша Вселенная - это перекрученное пространство.
Лента Мебиуса в искусстве
Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник горящим концом лучины дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мебиуса - на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.
Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл. Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер. Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса. В 2009 году Лиза Рэй написала картину «Корабль дураков в бесконечности».
Немало памятников посвящено ленте Мёбиуса: памятник во Франкфурте-на-Майне (Германия), памятник в Минске (Беларусь), памятник в Москве около кинотеатра «Горизонт», скульптура, украшающая окрестности здания центра физических исследований в американском штате Иллинойс.
Поражает своим решением и красотой проект новой библиотеки в виде листа Мёбиуса в Астане (Казахстан).
О ленте Мебиуса упоминают также и в поэзии:
«Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом».
(«Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова)
В 1967 году в Бразилии на международном математическом конгрессе выпустили памятную марку достоинством в 5 сентаво с изображением ленты Мебиуса.
Заключение
Во время этого исследования мне удалось прийти к следующим выводам:
1. Лента Мёбиуса имеет один край.
2. Лента Мёбиуса имеет одну сторону.
3. Лента Мёбиуса - топологический объект, не меняет своих свойств, пока её не разрезают и не склеивают её отдельные куски.
4. Поверхность лента Мёбиуса неориентируемая. На ленте Мебиуса нельзя разделить направления «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки».
5. Лента Мебиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.
Позже математики открыли еще целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии - топологии.
В ходе исследования узнал, что:
Существует односторонняя поверхность - лист Мёбиуса.
Он обладает удивительными свойствами.
Лента Мёбиуса используется в жизни.
Она интересует литераторов и художников.
Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить интересные вещи.
Список литературы
https://masterok.livejournal.com/3761488.html
http://vestnik-nou1.narod.ru/primenenie_lista_mebiusa.htm
http://www.decoder.ru/list/all/topic_97/
Клиффорд Пиковер «Великая математика» М. «БИНОМ Лаборатория знаний», 2015
Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. «Курс гомотопической топологии». — М.: Наука, 1989.
Году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.
Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).
Свойства
Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника . Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
Геометрия и топология
Параметрическое описание листа Мёбиуса.
Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.
Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
Лист Мёбиуса - это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.
Подобные объекты
Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна . Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
Другое похожее множество - сфера с плёнкой. Если проколоть отверстие в сфере с плёнкой, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет сфера с плёнкой. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы её граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересечённая крышка» (пересечённая крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в ).
Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем - пусть C будет единичным кругом в плоскости x y в . Соединив антиподные точки на C , то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости x y , а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости x y ).
Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сфера сплёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.
Открытые проблемы
ОТВЕТ : Таких формул существует бесконечно много, см., напр., .
Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky ) в 1930 году, была недавно решена, см. . Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.
Искусство и технология
Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса II , показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты» . Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
См. также
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Ленобласть
- Лента Мёбиуса
Смотреть что такое "Лента Мебиуса" в других словарях:
Лента - получить на Академике рабочий купон на скидку Империя Садовода или выгодно лента купить с бесплатной доставкой на распродаже в Империя Садовода
Лента мебиуса - Лента Мёбиуса Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не… … Википедия
ЛЕНТА МЕБИУСА - Группа была образована 29 марта 1996 г. Николаем Марконовым (вокал, гитара, тексты) экс Аниматоры. В группу приходят Алексей Шубенко (бас), (гр. Мотохулиганы), Валерий Быстрое (соло), (гр. Буш билдинг), Олег Буробин (ударные), (гр. Старик… … Русский рок. Малая энциклопедия
Лента Мёбиуса - Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, однос … Википедия
Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).
Свойства
- Если разреза́ть ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотаные друг на друга.
- Если разреза́ть ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента).
- Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника . Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.
Геометрия и топология
Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:
где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.
Лист Мёбиуса - это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.
Подобные объекты
Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна . Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
Другое похожее множество - сфера с плёнкой. Если проколоть отверстие в сфере с плёнкой, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет сфера с плёнкой. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы её граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересечённая крышка» (пересечённая крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в ).
Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем - пусть C будет единичным кругом в плоскости x y в . Соединив антиподные точки на C , то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости x y , а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости x y ).
Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сферы с плёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.
Открытые проблемы
ОТВЕТ : Таких формул существует бесконечно много, см., напр., .
Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky ) в 1930 году, была недавно решена, см. . Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.
Искусство и технология
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса II , показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты» . Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина , цикл «В глубине Великого Кристалла » (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус » режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мебиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мебиуса».
С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo» (СПб.: Амфора, 2003). Из аннотации к книге: «„Echo“ - литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии - „мальчиков“ и „девочек“ - переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
См. также
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Капельманс, Виктор Иванович
- Капече, Карло Сиджизмондо
Смотреть что такое "Лист Мёбиуса" в других словарях:
Лист мёбиуса - Лента Мёбиуса Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не… … Википедия
Лист Мёбиуса - (также лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем; попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Название – по имени А. Ф. Мёбиуса. Август Фердинанд Мёбиус August… … Судьба эпонимов. Словарь-справочник
лист Мёбиуса - топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве. Попасть из одной точки поверхности в любую другую можно, не пересекая края ленты. На самом деле все очень просто… … Универсальный дополнительный практический толковый словарь И. Мостицкого
Лист (значения) - Лист: Лист вегетативный орган растений. Листовой материал тонкий, плоский кусок какого либо материала, например: лист фанеры, лист железа, лист бумаги и т. д. Типографика Лист (книгопечатание) устаревшая единица измерения… … Википедия
Представим себе поверхность и сидящего на ней муравья. Удастся ли муравью доползти до обратной стороны поверхности – образно говоря, до её изнанки, - не перелезая через край? Конечно же нет!
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привел Мёбиус в 1858г.
Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – ученик «короля» математиков Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века.
В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента). Мёбиус придумал ленту, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.
В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.
Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:
1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.
2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.
3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.
4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.
5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств. Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.
Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта. По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.
Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:
1. Для изготовления ее модели потребуются: - лист обычной бумаги;
- ножницы;
- линейка.
2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.
3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 180* так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.
4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.
Лента Мебиуса готова.
5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.
Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.
Архитетурные решения с использованием идеи ленты Мебиуса:
Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса:
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Устройство под названием резистор Мёбиуса - это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.
Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах красящая лента также имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.
Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - «Лист Мёбиуса II», показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.
Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».
Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».
Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».
В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.
Москва, «Лента Мёбиуса»
С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ - литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии - „мальчиков“ и „девочек“ - переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».
Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.
В визуальной новелле CHARON "Makoto Mobius" главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт - ленту Мёбиуса.
В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.
Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.
Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)
Лента Мёбиуса (петля́ Мёбиуса, лист Мёбиуса) - простая с виду фигура, но математик сказал бы, что это двумерная поверхность с удивительными свойствами: у неё только одна сторона и один край, в отличие от обычного кольца, которое можно свернуть из той же полоски, что и ленту Мёбиуса, но у него будет две стороны и два края. В этом легко убедиться, если нарисовать линию посередине ленты, не отрывая карандаш от бумаги, пока не вернётесь в исходную точку. Удивительно, но факт: за счёт полуоборота полоски её верхний и нижний края объединились в одну непрерывную линию, а две стороны превратились в единое целое и стали одной стороной. И вот результат: попасть из одной точки ленты Мёбиуса в любую другую можно, не переходя через край.
Бег по ленте Мёбиуса
Для стороннего наблюдателя путешествие по ленте Мёбиуса представляет собой «бег по кругу», полный неожиданностей. Его наглядно изобразил голландский художник-график Мауриц Эшер (1898-1972). На картине «Лента Мёбиуса II» в роли бегущих - муравьи. Проследив за их движением, можно сделать интересное открытие. Совершив один оборот по ленте, каждый муравей окажется в исходной точке, но уже в положении антипода, - зрительно он будет «по ту сторону» ленты вниз головой. А что произойдёт с двумерным существом, движущимся по ленте Мёбиуса? Обойдя поверхность, оно превратится в своё зеркальное отражение (это легко представить, если считать ленту прозрачной). Чтобы стать самим собой, двумерному существу придётся сделать ещё один круг. Вот и муравью нужно дважды пройти по ленте Мёбиуса, чтобы вернуться в начальное положение.
Научный курьез или полезное открытие
Ленту Мёбиуса часто называют математическим курьёзом. Да и само её появление приписывают случаю. По легенде, ленту придумал один немецкий учёный, когда увидел на горничной неправильно повязанный шейный платок. Это был, известный математик и астроном, ученик Карла Фридриха Гаусса. Одностороннюю поверхность с единственным краем он описал ещё в 1858 году, но статья не была опубликована при его жизни. В том же году независимо от Мёбиуса аналогичное открытие сделал Иоганн Листинг, ещё один ученик Гаусса.
Ленту всё же назвали в честь Мёбиуса. Она стала одним из первых объектов топологии - науки, изучающей наиболее общие свойства фигур, а именно такие, какие сохраняются при непрерывных (без разрезов и склеек) преобразованиях: растяжении, сдавливании, изгибании, скручивании и пр. Эти преобразования напоминают деформации фигур из резины, поэтому топологию иначе называют «резиновой геометрией». Отдельные топологические задачи решал ещё в XVIII веке Леонард Эйлер. Начало новой области математики положила работа Листинга «Предварительные исследования по топологии» (1847) - первый систематический труд по этой науке. Он же придумал термин «топология» (от греческих слов τόπος - место и - λόγος - учение).
Ленту Мёбиуса можно было бы считать научным курьёзом, очередной причудой математиков, если бы она не нашла практического применения и не вдохновляла людей искусства. Её не раз изображали художники, ей ставили памятники скульпторы и посвящали свои творения писатели. Эта необычная поверхность приглянулась архитекторам, дизайнерам, ювелирам и даже изготовителям одежды и мебели. На неё обратили внимание изобретатели, конструкторы, инженеры (например, ещё в 1920-е годы были запатентованы аудио- и киноплёнки в форме ленты Мёбиуса, позволяющие удвоить продолжительность записи). Но чаще других с этой лентой имеют дело фокусники: их привлекают необычные свойства, проявляющиеся при её разрезании.Так, если разрезать ленту Мёбиуса по средней линии, она не распадётся на две части, как можно ожидать. Из неё получится более узкая и длинная двусторонняя лента, перекрученная дважды (подобную форму имеет конструкция аттракциона «Американские горки»). А вот «кулинарный фокус»: пирожные в виде ленты Мёбиуса покажутся вкуснее обычных, ведь на них можно намазать в два раза больше крема! Кроме того, есть интересные архитектурные проекты зданий, выполненные «в стиле ленты Мёбиуса». Пока они существуют только на бумаге, но, хочется верить, непременно будут реализованы.
«Двусмысленное» положение
Своими свойствами лента Мёбиуса в самом деле напоминает объект из Зазеркалья. Да и сама она, будучи асимметричной фигурой, имеет зеркального двойника. Отправим прогуляться вдоль ленты отпечаток правой ступни и вскоре обнаружим, что домой возвратится отпечаток левой ступни. Забавно, правда? И когда только «правое» успело стать «левым»? «Вмонтируем» в ленту двумерные часы и заставим их совершить по ней полный оборот. Взглянув на часы, мы увидим, что стрелки на циферблате движутся с той же скоростью, но в обратную сторону! И какое же из двух направлений движения правильное?
Пока вы думаете над ответом, замечу, что математик предложил бы изящный выход даже из этого «двусмысленного» положения. Нужно, чтобы, во-первых, часы всегда показывали одно и то же время, а во-вторых, стрелки на циферблате были в положении, которое сохранилось бы при зеркальном отражении, например стояли вертикально, образуя развёрнутый угол.
Ну что, проверим ответ? На самом деле на ленте Мёбиуса нельзя установить определённое направление вращения. Одно и то же движение можно воспринимать и как поворот по часовой стрелке, и как поворот в противоположном направлении. Когда произвольно выбранная на ленте Мёбиуса точка обходит её, одно направление непрерывно переходит в другое. При этом «правое» неуловимо сменяется «левым». Двумерное существо никаких изменений в себе не заметит. Зато их увидят другие такие же существа и, конечно, мы, наблюдающие за происходящим из другого измерения. Вот такая она непредсказуемая, односторонняя поверхность Мёбиуса.
