Разложение в ряд фурье 2 периодических функций. Ряд фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

a 0 /2 + a 1 cosx + b 1 sinx + a 2 cos2x + b 2 sin2x + ... + a n cosnx + b n sinnx + ...

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n , b n , ... - коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом "сигма":

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда , в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

1/2, cosx , sinx , cos2x , sin2x , ..., cosnx , sinnx , ... .

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π , π ] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F (x ) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f (x ) , если на отрезке [-π , π ] имеет место F (x ) = f (x )

Если на отрезке [-π , π ] ряд Фурье сходится к функции f (x ) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f (x ) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f (x ) и её производная f " (x ) - непрерывные на отрезке [-π , π ] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f (x ) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , в которой f (x ) непрерывна, сумма ряда равна f (x ) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x ) справа и слева:

где и .

На концах отрезка [-π , π ] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , сумма ряда Фурье равна F (x ) , если x - точка непрерывности F (x ) , и равна среднему арифметическому пределов F (x ) слева и справа:

если x - точка разрыва F (x ) , где F (x ) - периодическое продолжение f (x ) .

Пример 1. Периодическая функция f (x ) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f (x ) = |x | . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f (x ) определена на отрезке [-π , π ] и является чётной, т. е. f (- x ) = f (x ) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

Пусть теперь функция f (x ) , определённая на отрезке [-π , π ] , нечётная, т.е. f (x ) = - f (- x ) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f (x ) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы .

Пример 3.

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл :

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы :

Получаем ряд Фурье данной функции:

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Функцию f (x ), определëнную на отрезке и являющуюся на этом отрезке кусочно-монотонной и ограниченной, можно разложить в ряд Фурье двумя способами. Для этого достаточно представить продолжение функции на промежуток [–l , 0]. Если продолжение f (x ) на [–l , 0] чётное (симметричное относительно оси ординат), то ряд Фурье можно записать по формулам (1.12–1.13), то есть по косинусам. Если продолжить функцию f (x ) на [–l , 0] нечётным образом, то разложение функции в ряд Фурье будет представлено формулами (1.14–1.15), то есть по синусам. При этом оба ряда будут иметь в интервале (0, l ) одну и ту же сумму.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию y = x , заданную на промежутке (см. рис.1.4).

Решение .

a ). Разложение в ряд по косинусам. Строим чётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её чётным продолжением на [–1, 0 ] и последующим продолжением (по периоду T = 2) на всю ось 0x показан на рис.1.5.

Так как l = 1, то ряд Фурье для данной функции при чётном разложении будет иметь вид

(1.18)

В результате получим при

На всей оси 0x ряд сходится к функции, изображенной на рис.1.4.

2). Разложение в ряд по синусам. Строим нечётное продолжение функции в соседний промежуток [–1, 0]. График функции вместе с её нечётным продолжением на [–1, 0] и последующим периодическим продолжением на всю числовую ось 0x показан на рис.1.6.

При нечëтном разложении

, (1.20)

Поэтому ряд Фурье по синусам для данной функции при
будет иметь вид

В точке
сумма ряда будет равна нулю, хотя исходная функция равна 1. Это обусловлено тем, что при таком периодическом продолжении точкаx = 1 становится точкой разрыва.

Из сравнения выражений (1.19) и (1.21) следует, что скорость сходимости ряда (1.19) выше, чем ряда (1.21): она определяется в первом случае множителем
, а во втором случае множителем 1/n . Поэтому разложение в ряд по косинусам в данном случае предпочтительнее.

В общем случае можно показать, что если функция f (x ) не обращается в нуль хотя бы на одном из концов промежутка , то предпочтительнее еë разложение в ряд по косинусам. Это обусловлено тем, что при чётном продолжении в соседний промежуток
функция будет непрерывной (см. рис.1.5), и скорость сходимости получающегося ряда будет выше, чем ряда по синусам. Если функция, заданная на , обращается в нуль на обоих концах интервала, то предпочтительнее её разложение в ряд по синусам, так как при этом будет непрерывной не только сама функция f (x ), но и её первая производная.

1.6. Обобщённый ряд Фурье

Функции
и
(n , m = 1, 2, 3,…) называются ортогональными на отрезке [a , b ], если при n ≠ m

. (1.22)

При этом предполагается, что

и
.

Рассмотрим разложение функции f (x ), которая определена на отрезке [a , b ], в ряд по системе ортогональных функций

где коэффициенты (i = 0,1,2...) являются постоянными числами.

Для определения коэффициентов разложения умножим равенство (1.23) на
и проинтегрируем почленно на отрезке [a , b ]. Получим равенство

В силу ортогональности функций
все интегралы в правой части равенства будут равны нулю, кроме одного (при
). Отсюда следует, что

(1.24)

Ряд (1.23) по системе ортогональных функций, коэффициенты которого определяются по формуле (1.24), называется обобщённым рядом Фурье для функции f (x ).

Для упрощения формул для коэффициентов применяют, так называемое, нормирование функций . Система функций φ 0 (x ), φ 1 (x ),…, φ n (x ),… называется нормированной на промежутке [a , b ], если

. (1.25)

Справедлива теорема: всякую ортогональную систему функций можно нормировать. Это означает, что можно подобрать постоянные числа μ 0 , μ 1 ,…, μ n ,… так, чтобы система функций μ 0 φ 0 (x ), μ 1 φ 1 (x ),…, μ n φ n (x ),… была не только ортогональной, но и нормированной. Действительно, из условия

получим, что

называется нормой функции
и обозначается через
.

Если система функций нормирована, то, очевидно,
. Последовательность функцийφ 0 (x ), φ 1 (x ),…, φ n (x ),…, определённых на отрезке [a , b ], является ортонормированной на этом отрезке, если все функции нормированы и взаимно ортогональны на [a , b ].

Для ортонормированной системы функций коэффициенты обобщённого ряда Фурье равны

. (1.26)

Пример. Разложить функцию y = 2 – 3x на отрезке
в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения

предварительно проверив их на квадратичную интегрируемость и ортогональность.

Замечание. Говорят, что функция
, заданная на отрезке
, есть функция с интегрируемым квадратом, если она сама и еë квадрат интегрируемы на
, то есть, если существуют интегралы
и
.

Решение. Сначала решаем задачу на собственные значения. Общее решение уравнения этой задачи будет

а его производная запишется в виде

Поэтому из граничных условий следует:

Для существования нетривиального решения необходимо принять

откуда следует
Поэтому собственные значения параметра равны

а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя будут

. (1.27)

Проверим полученные собственные функции на ортогональность на отрезке :

так как при целых
.При этом

Следовательно, найденные собственные функции ортогональны на отрезке .

Разложим заданную функцию в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций (1.27):

, (1.28)

коэффициенты которого вычисляются по (1.24):

. (1.29)

Подставляя (129) в (1.28), окончательно получим

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-π ; π) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для разложение функции f(x) в Ряд Фурье.

Для функций по модулю (например, |x|), используйте разложение по косинусам .

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S (x ):

является периодической функцией с периодом 2l . Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
на интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:

.
Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале (-l ;l ):

Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.
Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где .
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример №1 . Разложить функцию f (x )=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение :
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:

Таким образом, для четных n (n =2k ) имеем b n =0, для нечетных (n =2k -1) -
Окончательно, .
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:

И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример №2 . Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг
Решение : Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n =18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b 18 =1;
или , откуда n =4. Значит, b 4 =-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»

Кафедра высшей математики

О.В.СТАРОЖИЛОВА

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

протокол № 45 , от 10.03.2017 г.

Старожилова, О.В.

С Специальные главы математики : учебное пособие //Старожилова О.В.. – Самара: ПГУТИ, 2017. –221 с.

Учебное пособие затрагивает специальные разделы математики: математическая логика и теории автоматов, алгебра высказываний, исчисление высказываний, элементы теории алгоритмов, регрессионный анализ, методы оптимизации.

Для студентов и магистров университета, обучающихся по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии », желающих изучать специальные главы математики самостоятельно.

Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.

Пособие содержит лабораторный комплекс и ряд инженерных задач с акцентом на программную реализацию методов вычислительной математики.

Старожилова О.В., 2017

Глава 1 Гармонический анализ 6

1.1 Задача о звучащей струне 7

1.2 Ортогональные системы функций 8

1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций 10

1.4 Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье 13

1.5 Разложение в ряд Фурье непериодической функции 17

1.6 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 18

1.7 Ряды Фурье для функций любого периода 21

1.8 Интеграл Фурье 27

1.9 Интеграл Фурье для четной и нечетной функции 29

1.10 Комплексная форма интеграла Фурье 30

1.11 Преобразование Фурье 32

Глава 2 Математическая логика и ИВ 33

2.1 Этапы развития логики 34

2.2 Логика высказываний 38

2.3Логические связки 40

2.4Логические операции 41

2.5 Алфавит исчисления высказываний 42

2.6 Формулы.Тавтология 42

2.7Законы логики высказываний 44

2.8 Формальные теории. Выводимость. Интерпретация 46

2.9 Аксиоматический метод 47

2.10 Система аксиом исчисления высказываний (ИВ) 52

2.11 Правила вывода 53

2.12 Производные правила вывода 56

2.13 Построение вывода в логике высказываний 62

2.14 Связь между алгеброй и исчислением высказываний 66

Контрольные вопросы 69

Глава 3 Задачи регрессионного анализа 70

3.1 Метод наименьших квадратов 74

3.2 Линейный регрессионный анализ 76

3.3 Оценка модели регрессии 79

3.4 Проблемы применения метода линейной регрессии 83

3.5 Предпосылки статистической модели ЛР 85

3.6 Задачи регрессионного анализа 86

3.7 Многомерная нормальная регрессионная модель 90

3.8 Вариация зависимой переменной 92

Контрольные вопросы 94

Глава 4 Общая постановка и виды задач принятия решений 95

4.1 Математическая постановка задачи оптимизации 97

4.2Локальный и глобальный минимум ЦФ 99

4.3 Методы безусловной оптимизации 102

4.4 Метод покоординатного спуска 102

4.5 Метод Розенброка 105

4.6 Метод конфигураций 105

4.7 Методы случайного поиска 108

4.8 Метод Ньютона 112

Глава 5 Преобразование Фурье 114

5.1 Аппрокисмация функции по Фурье 114

5.2 Преобразование Фурье 117

5.3 Быстрое преобразование Фурье 120

ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС 123

Гармонический и спектральный анализ 123

Тема 1. «Логика высказываний» 131

Варианты индивидуальных заданий темы ЛВ 133

Тема 2. Линейная парная регрессия 140

Лабораторная работа № 1 141

Вычисление коэффициентов уравнения ЛР 141

Лабораторная работа № 2 144

Вычисление выборочного коэффициента корреляции 144

Лабораторная работа № 3 145

Вычисление оценок дисперсий парной ЛР 145

Лабораторная работа №4 147

Функции Excel для коэффициентов парной ЛР 147

Лабораторная работа № 5 149

Построение интервальной оценки для функции парной ЛР 149

Лабораторная работа № 6 151

Проверка значимости уравнения ЛР по критерию Фишера 151

Тема 3 Нелинейная парная регрессия 153

Лабораторная работа № 7 153

Построение нелинейной регрессии с использованием 153

Команды «Добавить линию тренда» 153

Лабораторная работа № 8 158

Выбор наилучшей нелинейной регрессии 158

Тема 4. Линейная множественная регрессия 161

Лабораторная работа № 9 162

Вычисление коэффициентов ЛМР 162

Лабораторная работа № 10 166

Проверка значимости в режиме Регрессия 166

Тема 5. Нелинейная множественная регрессия 175

Лабораторная работа № 11 175

Вычисление для функция Кобба-Дугласа 175

Контрольная работа № 1 179

Парная регрессия 179

Контрольная работа № 2 181

Множественная линейная регрессия 181

Численные методы поиска безусловного экстремума 185

Графический анализ функции 185

Задача одномерного поиска 187

Алгоритм Свенна 190

Метод перебора 193

Метод поразрядного поиска 195

Метод дихотомии. 198

Метод Фибоначчи 201

Метод золотого сечения 205

Метод средней точки 210

Метод Ньютона 214

Литература 218

Глава 1 Гармонический анализ

Определение Гармонический анализ- разделматематики, связанный с разложением колебаний на гармонические колебания.

При изучении периодических (т. е. повторяющихся во времени) явлений рассматриваются периодические функции .

Например, гармоническое колебание описывается периодической функцией времени t :

Ø Определение Периодическая функция - функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов.

Если периодическая функция имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т ; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT , где k = ±1, ± 2,....

Сумма, произведение и частное периодических функций с одним и тем же периодом являются периодическая функция с тем же периодом.

Периодические функции играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике. В курсе математического анализа знакомились с понятием функционального ряда , работали с его важным частным случаем - степенным рядом . Рассмотрим другой очень важный (в том числе и для физических приложений) частный случай функциональных рядов -- тригонометрический ряд.

Ø Определение Функциональный ряд – ряд вида

где - функции, зависящие от одной переменной или от нескольких переменных.

При каждом фиксированном значении функциональный ряд превращается в числовой ряд

который может сходиться, а может и расходится.

Ø Определение Точка сходимости функционального ряда - точка , в которой функциональный ряд сходится.

Ø Определение Множество всех точек сходимости называется областью сходимости ряда .

Можно ли данную функцию представить в виде тригонометрического ряда, т.е. можно ли найти коэффициенты a n и b n такие, что для всех имеет место равенство

Сумма ряда очевидно, -периодическая функция. Значит, разлагать в тригонометрический ряд можно только периодические функции f .

Кроме того ясно, что если две периодические функции совпадают на промежутке, длина которого равна периоду, то они совпадают всюду. Поэтому достаточно проверить на некотором промежутке длины , например, .

1.1 Задача о звучащей струне

К изучению тригонометрических рядов привела поставленная в 18 веке задача о звучащей струне.

Дана функция , можно ли найти тригонометрический ряд, который сходится и имеет своей суммой функцию . На необходимо наложить ограничения, чтобы можно было искать сходящийся к ней тригонометрический ряд.

Аналогичная задача была для степенных рядов, если она разрешима, то таким рядом является ряд Тейлора.

1.2 Ортогональные системы функций

Систематическое изучение ортогональных систем функций было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Одна из основных задач теории ортогональных систем функций - задача о разложении функции f (x ) в ряд вида , где ортогональная система функций.

Ø Определение Функции и называются ортогональными на , если выполняется:

q Пример , - функции ортогональны на , т.к.

q Пример на ортогональна к любой, определенной на функции.

Ø Определение Бесконечная система функций называется ортогональная на , если

q Пример Бесконечная система функций на образует ортогональную на систему функций

q Пример -тригонометрическая система функций образует ортогональную на систему функций.

, , .

Ø Определение Пусть задана произвольная ортогональная на система функций . Ряд

где - произвольные числовые коэффициенты, называется рядом по ортогональной системе функций.

Ø Определение Ряд по тригонометрической системе функций

называется тригонометрическим рядом.

ü Замечание Если - сумма тригонометрического ряда, сходящегося в каждой точке, то она периодическая, так как , - периодические функции с периодом ,то в равенстве ничего не изменится, следовательно периодическая.

ü Замечание Если задана на отрезке , но не , то сдвигом начала координат можно свести к изученному случаю.

ü Замечание Если периодическая функция с периодом ,не , то ее разлагают в тригонометрический ряд

q Теорема Если сходится числовой ряд , то тригонометрический ряд

сходится абсолютно и равномерно на всей оси .

Доказательство

Следовательно,

ряд - мажорирует данный тригонометрический ряд, по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.

Абсолютная сходимость очевидна.

1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций

Жан Батист Жозеф Фурье 1768 – 1830 – французский математик.

Для вычисления коэффициентов ряда Фурье вычислим интегралы

, ,

q Теорема Если для всех имеет место равенство

и тригонометрический ряд сходится равномерно на всей оси, то коэффициенты этого ряда определяются

, ,

Доказательство

Ряд сходится равномерно на всей числовой оси, его членами являются непрерывные функции, то его сумма тоже непрерывна и возможно почленное интегрирование ряда в пределах

Каждый интеграл равен нулю, т.к. тригонометрическая система функций ортогональна на , а , то

Для доказательства умножим обе части на

Это не нарушит равномерной сходимости ряда.

В силу равномерной сходимости ряда

а это и означает сходимость равномерную ряда.

Интегрируя на , имеем

В силу ортогональности тригонометрической системы функций на

, , а из отличен интеграл при ,

, что и т.д.

Запомним, что

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.

Формула для доказывается аналогично.

ü Замечание Теорема остается справедливой на любом отрезке , при этом пределы интегрирования заменяются соответственно на и .

Ø Определение Тригонометрический ряд

коэффициенты которого определяются по формулам

, ,

называется рядом Фурье для функции , а коэффициенты называются коэффициенты Фурье .

Если ряд Фурье функции f(x) сходится во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

ü Замечание Не всякий тригонометрический ряд является рядом Фурье, даже, если он сходится на всей числовой прямой.

Сумма неравномерно сходящегося ряда может быть разрывной и не интегрируемой, поэтому определение коэффициентов Фурье невозможно.

ü Замечание Ряд Фурье является частным случаем функциональных рядов.

1.4 Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье

Ø Определение Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x 1 , x 2 , ..., x n-1 на интервалы (a ,x 1 ), (x 1 ,x 2 ), ..., (x n-1 ,b ) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастает, либо не убывает.

ü Замечание Из определения следует, что если функция кусочно-монотонная и ограничена на [a ,b ], то имеет разрывы только первого рода.

Ø Определение Функция называется кусочно-гладкой , если на каждом конечном интервале она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва 1-го рода.

q Теорема (условие Дирихле достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье) :Если периодическая функция с периодом удовлетворяет одному из условий:

то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках

и сходится к числу в каждой точке ее разрыва.

Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.