МЕТОДЫ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
1.1. ПРЕДМЕТ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Принцип аналогии в моделировании, общее понятие модели
Моделирование основывается на принципе аналогии (подобия, сходства) между двумя объектами или явлениями, имеющими зачастую качественно различную природу. В этом случае один из объектов рассматривается как оригинал, а второй - как его модель, копия. Наиболее существенным сходством между оригиналом и его моделью является сходство их поведения при определенных условиях. Моделирование используется как способ исследования, изучения сложных систем и явлений.
При изучении методом аналогии непосредственному исследованию всегда подвергается одна система, а вывод делается для другой. Система, которая исследуется непосредственно, является отображением или моделью изучаемой системы, оригинала.
Модель (лат. modulus) - мера, мерило, образец, норма. В математике существует теория моделей, в которой под моделью понимается произвольное множество с заданным на нем набором свойств и отношений. Модель представляет собой отображение каким-либо способом наиболее существенных характеристик, процессов и взаимосвязей реальных систем, а под моделированием понимается воспроизведение или имитирование какой-либо существующей системы на специально построенном аналоге или модели.
Под моделированием понимается исследование объектов познания не непосредственно, а косвенным путем, с помощью анализа некоторых других вспомогательных объектов - моделей.
Все экономические модели можно в общем смысле разбить на два класса:
Модели позитивного анализа - для познания свойств реальных или гипотетических экономических систем. Значение их параметров невозможно оценить по эмпирическим данным;
Модели нормативного анализа - для прогнозирования или принятия управляющих решений. Их параметры можно оценить по опытным данным.
Объектом моделирования является зафиксированный или по крайней мере наблюдаемый процесс развития экономического объекта во времени.
Экономико-математические модели
Для более глубокого исследования и изучения сложных систем используется математическое моделирование, под которым понимается описание или представление наиболее важных причинных и функциональных взаимосвязей и зависимостей, существующих в реальной действительности, в математической форме.
Математическая модель имеет другую по сравнению с реальным объектом природу и представляет собой уравнение или систему уравнений и неравенств, описывающую взаимосвязи, происходящие в оригинале.
Математическое моделирование получило широкое распространение в исследовании экономических систем. Это обусловлено тем, что экономические системы характеризуются сложными количественными взаимозависимостями, которые можно выразить как взаимосвязь множества переменных и которые хорошо поддаются математическому описанию в виде уравнений и неравенств. Используется оно как средство изучения, как инструмент познания экономических явлений. Анализируя уравнения и неравенства, которые описывают количественные взаимосвязи данной системы, можно анализировать и саму экономическую систему.
Следовательно, под экономико-математической моделью понимается описание количественных взаимосвязей и взаимозависимостей экономических систем или процессов в математической форме.
Экономические системы характеризуются огромным количеством взаимосвязей, детальный учет которых привел бы к очень громоздким и практически неиспользуемым моделям или системе моделей. Важно включить в модель факторы, оказывающие основное влияние на производство, и не менее важно опускать те из них, которые не оказывают на него существенного влияния. Таким образом, экономико-математическая модель характеризует наиболее важные свойства конкретных экономических систем, абстрагируясь от деталей и частностей.
По определению академика, экономико-математическая модель есть концентрированное выражение существующих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме. Модель выступает как аналог исследуемого процесса, так как она отображает наиболее существенные и основные связи моделируемого объекта.
Математическое моделирование открыло широкие возможности для изучения экономических взаимосвязей и закономерностей. С появлением математического моделирования и ЭВМ стало возможным экспериментирование и в экономике, но не на реальных объектах, а на математических моделях экономических систем и явлений. Для этого необходимо представить экономический процесс в виде экономико-математической задачи и решить ее на ЭВМ. Причем, изменяя условия, можно проанализировать множество вариантов и выбрать наиболее выгодный из них. Это открывает новые возможности, как в проверке различных гипотез, предположений, так и в совершенствовании реального процесса воспроизводства.
Математическое моделирование предполагает предварительный качественный анализ условий, в которых будут проявляться количественные взаимосвязи моделируемого объекта. Вид и характер математической модели определяются взаимосвязями и взаимозависимостями экономических систем.
Математическая модель экономического объекта, экономико-математическая модель - совокупность математических уравнений и неравенств, описывающая функционирование экономического объекта с заданной степенью детализации. Структурными элементами экономико-математической модели являются технико-экономические показатели деятельности объекта, представленные в виде известных (заданных) и неизвестных (переменных) величин.
Основными переменными, с помощью которых описывается экономическая система, являются объемы различных товаров и услуг, которые производятся и потребляются, прибавляются и вычитаются из имеющихся запасов, продаются и покупаются, а также цены , по которым покупаются и продаются товары и услуги.
Для построения уравнений нужны данные: имеющееся количество природных и людских ресурсов, уровень технических знаний, природа потребительских предпочтений. Из этих данных и переменных формируются условия функционирования некоторого экономического объекта, т. е. система уравнений (или неравенств).
Сложность природы экономических объектов состоит в том, что основные переменные (объемы товаров и цены) хотя и существуют объективно, но зависят от поведения отдельных людей, индивидуумов, корпоративного поведения групп взаимосвязанных людей, совокупного поведения больших масс людей, а также поведения государственных и политических деятелей. Аналитическое описание их поведения - наиболее сложная часть в формализации развития экономических систем. Но нельзя также забывать, что одно из основных понятий поведенческой деятельности - выбор, выбор одного из многих вариантов поведения (стратегий). Выбор всегда делает индивидуум, основываясь на своих соображениях, предпочтениях, руководствуясь той или иной целевой установкой - экономической выгодой.
Экономико-математическая модель должна включать формализованное описание критерия выбора, т. е. экономической цели: целевую функцию.
Делая свой выбор, люди всегда учитывают не только существующую экономическую ситуацию, но и ее будущие изменения, т. е. изменившиеся ожидания. Следовательно, выбор осуществляется в динамике.
Исследуя поведение отдельного индивидуума на рынке товаров, можно сделать вывод о поведении населения (индивидуальный и массовый спрос) или групп взаимосвязанных людей (организаций, фирм), чтобы управлять спросом на товары и услуги. Итак, если основные задачи экономической теории - объяснить текущее состояние и предсказать будущее развитие экономических систем (объектов), то основная задача математической экономики - дать для этого необходимый аналитический аппарат.
1.2. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ
Первые задачи, связанные с отысканием наименьших и наибольших величин, были поставлены в древности. Упоминания о максимумах и минимумах встречаются в трудах Евклида, Аполлония, Архимеда. Потребность решать экстремальные проблемы способствовала созданию математического анализа и вариационного исчисления. В XVII и XVIII веках были открыты вариационные принципы в оптике и механике, вариационное исчисление стало языком экономики и естествознания.
В становлении современных методов оптимизации сыграли определенную роль ученые Куисни (1759) и Л. Вальрас (1874), предложившие первые элементарные модели математического программирования. Фон Нейман (1937) и (1939) разработали экономические модели оптимизации. Математические основы линейного программирования разрабатывались
М. Жорданом (1873), Г. Мынковским (1896) и Ю. Фаркашем (1903). Серьезный вклад в| динамическое программирование внес (1954), а также
(1920), разработавший элементы теории массового обслуживания. Важную роль в теории оптимизации сыграл фундаментальный труд Г. Вагнера (1969), который является одним из ведущих специалистов по исследованию операций.
Оптимизация имеет важное значение в экономических исследованиях.
Изучение экономико-математических моделей начнем с микроэкономического уровня, на котором функционируют предприятия (фирмы), т. е. товаропроизводители, а также домашние хозяйства, т. е. потребители.
Домашнее хозяйство - один или несколько человек, объединенных общим доходом , сообща планирующие его расходование на приобретение товаров и услуг.
Предприятие (фирма) - группа лиц, организующих совместную деятельность для производства товаров и услуг и реализации их домашним хозяйствам и другим фирмам.
Основная экономическая цель потребителя - достичь максимального уровня удовлетворения при расходовании дохода, выбрав среди доступных ему вариантов поведения один - наилучший.
Основная экономическая цель производителя - достичь максимума прибыли при выборе наилучшей производственной программы.
При планировании производственной деятельности на любом уровне управления предполагаются заданными те производственные ресурсы, которыми мы располагаем и которыми можем распоряжаться. Известными являются и нормативы затрат производственных ресурсов при различных способах производства. Неизвестные (переменные) - количество производимых товаров и услуг, которое можно произвести в заданный промежуток времени, чтобы достичь экономического эффекта (цели производства).
aij - норма затрат /-го вида ресурса на единицу j-го вида деятельности;
bi - объем имеющегося ресурса i-го вида.
Дадим определения основных структурных элементов задачи линейного программирования.
Итак, задача линейного программирования (1.5, 1.6) в экономике называется линейной моделью оптимального планирования. Целевая функция f - критерий оптимальности модели. Решение - план (производственная программа, способ функционирования). Множество решений системы линейных неравенств (1.6) без учета целевой функции - множество допустимых решений (в математике) и совокупность допустимых планов (в экономике). Точка оптимума (n-мерный вектор , при котором достигается f(х)), т. е. оптимальное решение задачи линейного программирования (1.5, 1.6), в экономике называется оптимальным планом.
Повторим: задача линейного программирования состоит в отыскании значений п переменных x1, х2,…,хn доставляющих экстремум функции f(x1x2,..,хn) при условиях (1.6), представляющих собой систему линейных нестрогих неравенств, которые в случае необходимости могут быть превращены в равенства посредством присоединения искусственных переменных xn+i (i =1,2,.., m). Обычно добавляются условия неотрицательности переменных x j ≥ 0 (j = 1, 2,.., n).
Поскольку целевая функция линейна, она не имеет критических точек. Следовательно, все точки оптимумов являются граничными. Допустимое множество выпукло, так как все ограничения линейны. Линейная целевая функция одновременно и выпукла, и вогнута, поэтому все максимумы и минимумы являются глобальными. Если решение задачи линейного программирования существует, то в принципе оно может быть точно найдено (рассчитано). Универсальный метод решения общей задачи линейного программирования (симплекс-метод) введен Дж. Данцигом. Для других классов задач оптимизации нет хороших конечных численных методов, поэтому для экономистов-практиков, заинтересованных в непосредственном численном решении задач оптимизации, теория ЛП очень важна. Если исходные модели могут быть приближены к линейным с приемлемой точностью, то симплекс-метод дает возможность получить численное решение для последующего анализа.
Свойства решений задачи линейного программирования во многом зависят от особенностей области определения, заданной условиями (1.6). Для изучения этих свойств введем основные понятия.
1. Множество точек {х}, х = (х1 х2,…, х
n
), удовлетворяющих системе (1.6), есть область определения
задачи линейного программирования. Когда
п
= 2, область определения - многоугольник на плоскости, в общем случае - n
-
мерный многогранник.
2. Функция f(x) - целевая функция (плоскость при п = 2, в общем случае - гиперплоскость); она достигает экстремума в одной или нескольких допустимых точках области определения. Эти точки называются оптимальным решением.
3. Область определения называется выпуклой, если вместе с двумя любыми точками она содержит и весь отрезок, соединяющий эти точки.
4. Область определения является замкнутой (т. е. содержащей собственную границу), так как в выражении (1.6) все неравенства нестрогие.
Точка х , принадлежащая выпуклой области, называется крайней, если в данной области нет двух таких точек х1 и х2 , что х находится на отрезке между х1 и х2 .
Крайняя точка не совпадает с граничной.
Область определения, заданная условиями (1.6), - выпуклый замкнутый многогранник, вершины которого - крайние точки, число их конечно.
5. Если не существует точки х = (х1 х2,.., х n ), удовлетворяющей системе (1.6), тогда область определения задачи линейного программирования - пустое множество, а система (1.6) называется несовместной. Экстремум целевой функции не существует.
6. Экстремум целевой функции в задаче линейного программирования (если он существует) всегда является абсолютным (глобальным), т. е. единственным.
7. Множество экстремальных точек х* (точек, в которых f = extr) в задаче линейного программирования (если оно непусто) всегда содержит, хотя бы одну крайнюю точку многогранника (области определения).
Перечисленные свойства задач линейного программирования легко можно проиллюстрировать графически в двумерном случае.
На рис. 1.3 точки О, Е1 Е2 Е3, Е4 - экстремальные. Оптимум задачи лежит в одной из них либо на множестве экстремальных точек (отрезок в двумерном случае).
Из свойств 1-7 следует, что всякая процедура, предусматривающая направленный перебор крайних точек области определения задачи (1.5, 1.6), должна привести к отысканию среди них точки экстремума х *, т. е. оптимального решения. Эта идея отражена в симплекс-методе. Он позволяет найти крайнюю точку области определения и оценить, является ли она точкой экстремума целевой функции f . Если нет, то обеспечивается переход к соседней крайней точке, где значение f больше (меньше) предыдущего. Через конечное число шагов точка экстремума либо оказывается найденной, либо признается несуществующей (система условий (1.6) несовместна).
Рис. 1.3. Геометрическая схема решения задачи линейного программирования
Симплекс-метод часто называют методом последовательного улучшения плана. Для обоснования алгоритма расчетов симплекс-метода будем рассматривать каноническую задачу линейного программирования (простейшую): min сх при Ах = b , х ≥ 0, где А - матрица; b , с, х - векторы.
Пусть известна угловая (крайняя) точка х = (х1 х2,.., хп) - опорный план.
Ненулевые значения компонент хj образуют вектор, который называется базисом. Для невырожденных задач базис содержит т компонент (т < п). Итерационный шаг метода состоит в переходе от угловой точки х к угловой точке х", при котором значение целевой функции убывает: (сх") < (сх).
Метод реализован в виде стандартных пакетов прикладных программ на всех массовых моделях ЭВМ и широко используется при решении практических задач экономического анализа и планирования.
Перечислим другие классы задач оптимизации, для которых существуют эффективные (не всегда конечные) методы решения .
1. Квадратичное программирование - задача минимизации положительно определенной квадратичной формы при линейных ограничениях.
2. Целочисленное программирование - задача ЛП, в которой все или некоторые переменные могут принимать только дискретные значения.
3. Выпуклое программирование - задача максимизации вогнутых целевых функций на выпуклых множествах.
4. Стохастическое программирование - задача Л П, в которой матрица А и вектор b содержат случайные параметры с известным законом распределения либо сами ограничения носят вероятностный характер.
5. Блочная задача линейного программирования большой
размерности - задача ЛП, в которой матрица А
имеет вид шахматной доски со связующими переменными и (или) ограничениями, а общая размерность превышает (500*500).
6. Динамическое программирование - система методов, позволяющих решать многоэтапные задачи планирования.
7. Многокритериальная оптимизация - с несколькими целевыми функциями.
1.5. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Для экономического анализа весьма важным является анализ двойственной задачи ЛП, так как принципы двойственности проясняют природу цен. Цена - самое фундаментальное понятие экономической теории.
Пусть стандартная задача ЛП в векторно-матричных обозначениях записывается в виде: найти
х = (х1 х2,…, хп)
чтобы получить
max cx (1.7)
при ограничениях
Ax ≤ b , x ≥0. (1.8)
Где с - n-мерная вектор-строка;
b - m-мерный вектор-столбец;
А – матрица m*n;
m – произвольное число, m < n.
Двойственной по отношению к исходной задаче (1.7, 1.8) называется задача вида: найти
y (y 1 , y 2 ,…, ym ) (1.9)
чтобы обеспечить
min yb
при условиях
yA ≥ c , y ≥ 0. (1.10)
Здесь А, b , с имеют тот же смысл, что в задаче (1.7, 1.8).
Тогда исходная задача является прямой. Двойственная к двойственной задаче - исходная. Двойственность - формальное математическое соотношение. Двойственная задача по построению всегда существует. Если прямая задача выражает функционирование реального экономического объекта, то и двойственная имеет экономическую интерпретацию. Для анализа этого вопроса сформулируем теоремы.
1-я теорема двойственности (теорема существования). Допустимый вектор прямой задачи х* оптимален тогда и только тогда, когда существует допустимый вектор двойственной задачи у* , такой, что сх* = y *b. В этом случае у* - оптимальный вектор двойственной задачи.
Иными словами, если одна из задач двойственной пары имеет оптимальное решение, то и другая задача имеет оптимальное решение, причем максимальное значение целевой функции исходной задачи и минимальное значение целевой функции двойственной задачи численно равны. (Если же одна из задач не имеет оптимального решения, то система ограничений двойственной задачи противоречива.)
2-я теорема двойственности (теорема равновесия).
1. Пусть векторы х* и у* допустимы в прямой и двойственных задачах соответственно. Они оптимальны тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
а) у* i ≥ 0, но у* i = 0, если https://pandia.ru/text/79/131/images/image011.gif" width="114" height="50">, j=1,…,n.
2.Оптимальная точка всегда будет такова, что число ненулевых переменных в решении каждой задачи не превосходит числа функциональных ограничений задачи.
Иными словами, если в оптимальном плане исходной задачи значение какой-либо переменной строго больше нуля, то соответствующее ограничение двойственной задачи при подстановке в него оптимального плана становится равенством.
2-я теорема двойственности дает возможность экономической интерпретации двойственной задачи, что иллюстрирует следующий пример.
Задана линейная модель производства, в которой выпускается п продуктов [ x j ] и затрачивается т факторов [ bi ], [а ij ] - постоянные коэффициенты затрат.
С другой стороны, заданы векторы цен и вектор ресурсов , ограничивающий использование факторов.
По 1-й теореме двойственности имеем рх* = y*b (стоимость продукции равна стоимости затраченных факторов. Следовательно, у* - вектор цен на факторы).
Двойственные переменные часто называются условными оценками (двойственными оценками, объективно обусловленными оценками). В данном случае они дают ответ на вопрос: какова наименьшая стоимость набора факторов b , дающая возможность обращения факторов в продукты и продажи продуктов по ценам р. Если оценка затрат, необходимых для производства продукта, меньше цены продукта, то более выгодно произвести и продать продукт, чем продать эти факторы. При оптимальных значениях х* и у* фирме безразлично, выпускать ли продукты, чтобы продать по ценам р, или продать ресурсы по ценами y*, так как y* b = р х* .
По 2-й теореме двойственности имеем:
а) всякий фактор, который не может быть использован при производстве оптимального набора продуктов, получает нулевую оценку (т. е. избыточно предлагаемые факторы не представляют ценности);
б) продукт, издержки на производство которого превосходят его цену (когда факторы оцениваются в оптимальных условных оценках), не будет производиться при оптимальном производстве. Поскольку эти соотношения соответствуют состоянию равновесия конкурентной экономики, 2-я теорема получила название теоремы равновесия.
Прямая задача Двойственная задача
m ax px min yb
Ах ≤ Ь, х ≥0 y А ≥ р, у ≥ 0
Запись прямой и двойственной задач в развернутой форме приведена ниже.
Задача I (исходная) | Задача II (двойственная) |
F = c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn ® max при ограничениях a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1n xn ≤ b1 a21 x1+ a 22 x2 +… + a 2 n xn ≤ b2 ………………………………. am1 x1 + a m2 x2 +… + a mn xn ≤ bm и условии неотрицательности x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0,…, xn ≥ 0. Составить такой план выпуска продукции Х= (x 1 , x 2 ,…, xn ), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов | Z = b1 y1 + b2 y2 + …+ bn yn ® min при ограничениях a 11 y 1 + a 21 y 2 +… + a m1 ym ≥ p1 a12 y1 + a 22 y2 +… + a m2 ym ≥ p2 ………………………………. a1n y1 + a 2n y2 +… + a mn ym ≥ pm и условии неотрицательности y 1 ≥ 0 , y 2 ≥ 0,…, ym ≥ 0. Найти такой набор цен (оценок) ресурсов У = (у1 у2 ,..., ут), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции |
Пусть ν * - оптимальное значение целевой функции, у* - оптимальный вектор двойственной задачи. Заменим b на b+ https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* оптимального значения целевой функции определяется соотношением: v* = у* https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* = yi * b i .
Тема 1. Основные понятия математического моделирования социально-экономических систем.
Моделирование как метод научного познания.
СЭС, их свойства.
Этапы экономико-математического моделирования.
Классификация экономико-математических моделей.
Моделирование в научных исследованиях стало применяться ещё в глубокой древности и постепенно захватывало всё более новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес моделированию ХХ век.
Методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей.
Процесс моделирования обязательно включает построение абстракций, умозаключения по аналогии и конструирование научных гипотез. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей.
Модель - это условный образ, схема объекта исследования. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект.
Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.
Процесс моделирования включает 3 элемента: субъект (исследователь), объект исследования, модель, опосредствующую отношения субъекта и объекта.
Большинство объектов, изучаемых экономической наукой, может быть охарактеризовано кибернетическим понятием сложная система . Наиболее распространено понимание системы как совокупности элементов, находящихся во взаимодействии и образующих некоторую целостность, единство. Сложность системы любой природы (технической, экономической, биологической, социальной и т.д.) определяется количеством входящих в нее элементов, связями между ними, а также взаимоотношениями между системой и средой.
Экономика обладает всеми признаками сложной системы. Она объединяет огромное число элементов, отличающихся многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природной средой, экономической деятельностью других субъектов, социальными отношениями). Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математики. Но такая точка зрения в принципе неверна.
Моделировать можно объект любой природы и любой сложности. Наибольший интерес для моделирования представляют сложные объекты; именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими методами исследования.
Таким образом, основным методом исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретического анализа и практического действия, направленный на разработку и использование моделей.
Моделирование развития систем основывается на двух методологических подходах:
Системный анализ , т.е. расчленение системы на отдельные элементы, изучение их взаимосвязей и закономерностей развития с использованием модели.
Системный подход, т.е. синтез – изучение объекта как единого целого на основе использования комплекса логических, информационных и алгоритмически взаимосвязанных систем моделей и методов их решения.
Если экономическая система трактуется как система общественного производства и потребления материальных благ, то социальные аспекты жизни общества весьма многогранны и не всегда доступны для детального анализа, моделирования и прогнозирования. Вместе с тем некоторые социальные проблемы являются объектом исследования для практических работников (анализ и прогнозирование покупательного спроса в маркетинге, распределение работников по уровню заработной платы в экономике и социологии труда). Многие из такого рода проблем могут быть решены с использованием экономико-математических методов и моделей.
Экономико-математическая модель представляет собой подобие или аналог изучаемого экономического явления или процесса, выраженного с помощью математических зависимостей и соотношений.
Под экономико-математическими методами подразумевается цикл научных дисциплин, предметом изучения которых являются количественные характеристики и закономерности экономических процессов, рассматриваемые в неразрывной связи с их качественными характеристиками.
В исследованиях применяют методы математической статистики, теории вероятностей, в значительной степени используют аппарат математического программирования и моделирования экономических процессов, сетевого планирования, теории массового обслуживания, экспертных оценок и т.д.
Применение математических методов в решении практических проблем позволяет совершенствовать систему экономической информации, повысить точность экономических расчетов, углубить количественный анализ экономических проблем, решить принципиально новые экономические задачи.
Практическими задачами экономико-математического моделирования являются:
Анализ экономических объектов и процессов;
Экономическое прогнозирование развития процессов и явлений;
Выработка управленческих решений на всех уровнях управления.
Полученные в результате экономико-математического моделирования данные могут использоваться как «консультирующие» средства.
Важным понятием при ЭММ является понятие адекватности модели , т.е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу по тем свойствам, которые являются существенными для исследования. Проверка адекватности экономико-математических моделей осложняется трудностью измерения экономических величин.
Сфера практического применения метода моделирования ограничивается возможностями и эффективностью формализации экономических проблем и ситуаций, а также состоянием информационного, математического, технического обеспечения используемых моделей.
В настоящее время наиболее перспективным направлением использования экономико-математических методов является реализация системы ЭММ в рамках автоматизированных систем управления, автоматизированных рабочих мест специалистов, руководителей в рамках локальных информационных сетей (ЛИС).
Социально-экономическая система (СЭС) относится к сложным системам. Она является более сложной по сравнению с экономической и определяется системой отношений человека с природой, обществом, производством, предпринимательством. Она охватывает процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных и других благ.
В экономической подсистеме рассматриваются отношения человека к производству, в социальной - отношения человека к природе.
СЭС включает экономические и социальные подсистемы.
В рамках «экономической системы» выделяют понятие «производственной системы». Это закономерно устойчивая связь и взаимоотношение всех отраслей и элементов производства в определенный период времени. Модели производственной системы позволяют описать целенаправленно развиваемый вид трудовой деятельности человека, его динамику.
Производственная система подразделяется на подкомплексы отраслей АПК:
отрасли, обеспечивающие развитие отраслей АПК;
собственно сельское хозяйство;
создание конечных продуктов (перерабатывающая промышленность).
Такие системы можно рассмотреть на федеральном, региональном уровне, уровне межхозяйственных объединений и предприятий, предприятий и их подразделений.
Сложные системы в экономике обладают рядом свойств, которые необходимо учитывать при их моделировании, иначе невозможно говорить об адекватности построенной экономической модели.
Важнейшие из этих свойств:
Эмерджентность - проявление целостности системы, т.е. наличие у экономической системы таких свойств, которые не присущи ни одному из составляющих ее элементов, взятому в отдельности. Поэтому СЭС необходимо исследовать и моделировать в целом.
Массовый характер экономических явлений и процессов . Закономерности экономических процессов не обнаруживаются на основании небольшого числа наблюдателей. Поэтому моделирование в экономике должно опираться на массовые наблюдения.
Динамичность экономических процессов заключается в изменении параметров и структуры экономических систем под влиянием среды (внешних факторов).
Случайность и неопределённость в развитии экономических явлений. Поэтому экономические явления и процессы носят в основном вероятностный характер, и для их изучения необходимо применение ЭММ на базе теории вероятностей и математической статистики.
Невозможность изолировать протекающие в экономических системах явления и процессы от окружающей среды , чтобы наблюдать и исследовать их в чистом виде.
Активная реакция на проявляющиеся новые факторы, способность СЭС к активным действиям в зависимости от отношения системы к этим факторам, способам и методам их воздействия.
Выделенные свойства СЭС, естественно, осложняют процесс их моделирования, однако эти свойства следует постоянно иметь в виду при рассмотрении различных аспектов экономико-математического моделирования, начиная с выбора типа модели и заканчивая вопросами практического использования результатов моделирования.
Разработка ЭММ осуществляется поэтапно, в определённой последовательности:
1. Постановка экономической проблемы и её качественный анализ.
Требуется экономическая формулировка, включающая цель решения, установление планового периода, выяснение известных параметров объекта и тех, значение которых нужно определить, их производственно-экономических связей, а также множества факторов и условий, отражающих моделируемый процесс.
Цель решения задачи выражается количественно конкретным показателем, называемым критерием оптимальности. Он должен соответствовать экономической сущности решаемой задачи. При этом необходим всесторонний и глубокий качественный анализ существа задачи и точная формулировка цели её решения.
2. Построение математической модели .
Это этап формализации экономической проблемы, т.е. выражения её в виде конкретных математических зависимостей (функций, уравнений, неравенств). Построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий. Сначала определяется тип ЭММ, изучаются возможности применения в данной задаче, затем уточняется конкретный перечень переменных и параметров и форма связей.
3.Математический анализ модели.
Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются математические приёмы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели.
4.Подготовка исходной информации.
Математическое моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации; при этом надо принимать во внимание не только возможность подготовки информации, но и затраты на ее подготовку. При системном экономико-математическом моделировании результаты функционирования одних моделей служат исходной информацией для других.
Информация как совокупность необходимых для моделирования сведений об экономическом объекте или процессе должна быть полной, достоверной, доступной и своевременной.
Целью обработки исходной информации является разработка и обоснование системы технико-экономических характеристик объекта или процесса.
Для любой модели эти характеристики формируются в виде технико-экономических коэффициентов, коэффициентов целевой функции и объёмных показателей (констант) ресурсов или продукции.
ТЭК можно подразделить на 3 группы:
Нормативы затрат ресурсов или выхода продукции
Коэффициенты пропорциональности (предусматривают определение соотношения между зависимыми переменными)
Коэффициенты связи (обуславливают зависимость переменной от объёмного показателя).
Затраты на подготовку информации не должны превышать эффект от её использования.
5.Численное решение.
Этот этап включает разработку алгоритмов численного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчётов, при этом значительные трудности вызываются большой размерностью экономических задач.
Обычно расчёты на основе ЭММ носят многовариантный характер. Многочисленные модельные эксперименты, изучение поведения модели при различных условиях возможно проводить благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ. Для решения задач важное значение имеют методы оптимизации.
6. Анализ численных результатов и их применение.
На этом этапе решается вопрос о правильности и полноте результатов моделирования и применимости их как в практической деятельности, так и в целях усовершенствования модели.
Перечисленные этапы экономико-математического моделирования находятся в тесной взаимосвязи и могут иметь место возвратные связи этапов. Так, на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи или противоречива, или приводит к слишком сложной математической модели; в этом случае исходная постановка задачи должна быть скорректирована. Наиболее часто необходимость возврата к предшествующим этапам моделирования возникает на этапе подготовки исходной информации.
Таким образом, моделирование - циклический процесс. Знания об исследованном объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется.
В дальнейшем можно использовать более общую схему процесса моделирования, включающую:
Постановку задачи,
Формирование ЭММ,
Решение задачи,
Анализ полученных результатов.
Суть экономико- математического моделирования заключается в описании СЭС и процессов в виде ЭММ.
Математические модели можно подразделить по ряду признаков:
1. По общему целевому назначению:
Теоретико-аналитические – используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов;
Прикладные – применяются в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования и управления).
2. По степени агрегирования объектов:
Макроэкономические (экономика в целом);
Микроэкономические (предприятие).
3. По конкретному предназначению (по цели создания и применения):
Балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов их использованию;
Трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) её основных показателей;
Оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта функционирования системы;
Имитационные модели используются в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов.
4. По типу информации:
Аналитические (опыт);
Идентифицируемые (эксперимент)
5. По учёту фактора времени:
Статические описывают состояние экономического объекта в конкретный момент или период времени;
Динамические описывают экономические системы в развитии.
6. По типу математического аппарата:
Модели матричные, линейного и нелинейного программирования, сетевого планирования, корреляционно – регрессионные, теории игр и т. д.
Модели экономических процессов весьма разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Но в то же время многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер.
7. По учёту фактора неопределённости:
Детерминированные предполагают жесткие функциональные связи между переменными модели;
Стохастические (вероятностные) допускают наличие случайных воздействий на исследуемые показатели.
8. По типу подхода к изучаемым СЭС :
Дескриптивные (описательные) предназначены для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений, их прогноза (балансовые, трендовые модели);
Нормативные определяют как развивается экономическая система, как она должна быть устроена и как должна действовать с учётом определённых критериев (оптимизационные модели).
С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей и новых признаков их классификации осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.
Предметом курса являются количественные характеристики экономических явлений и процессов в агропромышленном производстве и предпринимательстве.
Задачи курса:
Изучить основные приёмы и методы моделирования основных закономерностей и экономических процессов в СЭС аграрного сектора.
Основным методом являются методы математического моделирования, т.е. расчёта количественных характеристик развития биолого-технических, организационно-технологических, производственно-отраслевых и предпринимательских отношений личности работника с природой, обществом, производством.
Научиться пользоваться пакетом прикладных программ для ЭВМ для автоматизации формирования и расчёта системы ЭММ.
Изучить экономико-математический анализ оптимальных решений.
Это самый простой случай: известно количество возможных ситуаций (вариантов) и их исходы. Нужно выбрать один из возможных вариантов. Степень сложности процедуры выбора в данном случае определяется лишь количеством альтернативных вариантов и количеством критериев.
При однокритериальном применяется метод «прямого счета». При этом последовательность действий ЛПР следующая:
· определяется критерий, по которому будет делаться выбор;
· методом “прямого счета” исчисляются значения критерия для сравниваемых вариантов;
Процедурная сторона анализа существенно усложняется из-за множественности критериев , техника “ прямого счета “ в этом случае практически не применима. Наиболее целесообразным методом принятия решений становится метод экономико – математического моделирования.
Наиболее полное законченное определение экономико-математической модели дал академик В.С.Немчинов: «Экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме».
Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений и целевую функцию. Если при этом математическая постановка задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции, то данная задача называется экстремальной.
При решении экстремальных экономических задач критерии оптимальности отражаются в математических зависимостях, имеющих вид уравнений, поэтому уравнения критерия оптимальности называются уравнениями цели, или целевыми функциями.
Целевая функция связывает между собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая продукция и т.д.). Поэтому целевую функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция – функция многих переменных величин и может иметь свободный член. Каждой экономической экстремальной задаче соответствует одна целевая функция.
Модель экономической или производственной задачи должна отражать конкретные условия деятельности предприятия, поэтому для такой модели необходимы кроме целевой функции дополнительные условия, выраженные, например, уравнениями и неравенствами. Эти уравнения и неравенства составляют систему ограничений, а сами уравнения и неравенства называются ограничительными.
Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений или неравенств, называемых балансовыми уравнениями или неравенствами.
Критерий оптимальности – экономический показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и тому же критерию оптимальности могут соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные критерии оптимальности и различные целевые функции.
Одни из критериев – максимизируемые, другие – минимизируемые. Минимизируемым критерием является критерий совокупных затрат всех видов (труда, сырьевых ресурсов и т.д.). Из максимизируемых критериев можно выделить такие, как: число наборов конечных продуктов, валовая, конечная, чистая и условно чистая продукция, прибыль, рентабельность и др.
Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти единственное, удовлетворяющее системе ограничений и целевой функции.
Допустимый план, удовлетворяющий целевой функции, называется оптимальным .
Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и другие обозначения.
Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначать искомый объем производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребите
лям и т.д. Как правило, для обозначения переменных величин используются буквы: x, y, z , а также их модификации. Например, модификация переменной х: х 1 , х ij и т.д. Аналогичные модификации могут быть и для других переменных, используемых в модели. Переменные х 1 , х 2 , …, х n могут обозначать объемы производства продукции соответственно первого, второго и так далее n-го вида. По каждой переменной для конкретной задачи дается словесное пояснение.
Целевую функцию – цель задачи – чаще всего обозначают буквами f , F , Z . Постоянные величины обычно обозначают буквами: a , b , c , d и т.д.
Ограничения модели должны отражать все условия, формирующие оптимальный план. Однако практически учесть все условия задачи для достижения цели невозможно, достаточно учесть основные условия. Естественно, полученная модель будет упрощенной по сравнению с реальной, которая отражала бы все условия поставленной задачи.
Итак, в упрощенном виде экономико-математическая модель представляет собой:
· систему ограничений — равенства, неравенства вида больше или равно , меньше или равно ;
· условия неотрицательности переменных, исходя из экономической или физической сущности переменных 
;
· целевую функцию.
Если ограничения и целевая функция линейны относительно переменных, то модель называют линейной . А в случае, если хотя бы одна из функций f i или F нелинейна, то модель называют нелинейной .
Рассмотрим примеррешения экономико-математической задачи методом линейного программирования (ЗЛП).
Рыборазводное предприятие решает заселить водоем двумя видами рыб А
и В
. Средняя масса рыбы равна 2 кг для вида А
и 1 кг для вида В
. В озере имеется два вида пищи: Р 1
и Р 2
. Средние потребности одной рыбы вида А
составляют 1 ед. корма Р 1
и 3 ед. корма Р 2
в день. Аналогичные потребности для рыбы вида В
составляют 2 ед. Р 1
и 1 ед. Р 2
. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед.
Р 1 и 900 ед. Р 2 .
Условие данной задачи можно представить в виде таблицы 3.1
Таблица 3.1
Исходные данные к задаче
|
Ежедневный запас пищи |
Среднедневные потребности в пище для одной рыбы (единицы пищи |
||
|
Средняя масса рыбы, кг |
|||
Как следует заселить озеро рыбами, чтобы максимизировать общую массу рыб?
Решить задачу можно множеством способов, в том числе: графическим, симплекс – методом, способом подстановки. Рассмотрим графический метод.
Графический метод решения задачи линейного программирования
Нахождение решения задачи линейного программирования на основе ее геометрической интерпретации включает следующие шаги:
1. Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.
1. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.
2. Находят многоугольник решений или устанавливают несовместность системы ограничений (отсутствие решения).
3. Строят вектор направления целевой функции С = (с 1 , с 2) :
а) в качестве начальной точки этого вектора выступает точка начала координат (0,0) ;
б) конечная точка в качестве своих координат (с 1 , с 2) берет значения коэффициентов при неизвестных из целевой функции.
4. Строят линию уровня — прямую 
(например, d = 0
).
5. Передвигают прямую в направлении вектора С, в результате чего либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное (минимальное) значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве допустимых планов.
6. Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.
Графическим методом можно решать задачи ЛП стандартной формы, в которых не более двух (или трех) переменных. Этот метод позволяет также решать задачи, которые можно привести к указанному выше виду.
Решение . Обозначим через х 1 число рыб вида А и через х 2 число рыб вида В . Общая масса рыб будет равна
F = 2 х 1 + х 2 .
Корма Р 1 этим рыбам потребуется х 1 + 2 х 2 единиц в день. Поскольку дневной запас корма Р 1 ограничен величиной 500 ед., то мы должны ввести ограничение
Для корма Р 2
получаем аналогично второе ограничение: .
При построении экономических моделей выявляются существенные факторы и отбрасываются детали несущественные для решения поставленной задачи.
К экономическим моделям могут относится модели:
- экономического роста
- потребительского выбора
- равновесия на финансовом и товарном рынке и многие другие.
Модель — это логическое или математическое описание компонентов и функций, отражающих существенные свойства моделируемого объекта или процесса.
Модель используется как условный образ, сконструированный для упрощения исследования объекта или процесса.
Природа моделей может быть различна. Модели подразделяются на: вещественные, знаковые, словесное и табличное описание и др.
Экономико-математическая модель
В управлении хозяйственными процессами наибольшее значение имеют прежде всего экономико-математические модели , часто объединяемые в системы моделей.
Основные типы моделейЭкономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.
- Экстраполяционные модели
- Факторные эконометрические модели
- Оптимизационные модели
- Балансовые модели, модель МежОтраслевогоБаланса (МОБ)
- Экспертные оценки
- Теория игр
- Сетевые модели
- Модели систем массового обслуживания
Экономико-математические модели и методы, применяемые в экономическом анализе
R a = ЧП / ВА + ОА ,
В обобщенном виде смешанная модель может быть представлена такой формулой:
Итак, вначале следует построить экономико-математическую модель, описывающую влияние отдельных факторов на обобщающие экономические показатели деятельности организации. Большое распространение в анализе хозяйственной деятельности получили многофакторные мультипликативные модели , так как они позволяют изучить влияние значительного количества факторов на обобщающие показатели и тем самым достичь большей глубины и точности анализа.
После этого нужно выбрать способ решения этой модели. Традиционные способы : способ цепных подстановок, способы абсолютных и относительных разниц, балансовый способ, индексный метод, а также методы корреляционно-регрессионного, кластерного, дисперсионного анализа, и др. Наряду с этими способами и методами в экономическом анализе используются и специфически математические способы и методы.
Интегральный метод экономического анализа
Одним из таких способов (методов) является интегральный. Он находит применение при определении влияния отдельных факторов с использованием мультипликативных, кратных, и смешанных (кратно-аддитивных) моделей.
В условиях применения интегрального метода имеется возможность получения более обоснованных результатов исчисления влияния отдельных факторов, чем при использовании метода цепных подстановок и его вариантов. Метод цепных подстановок и его варианты, а также индексный метод имеют существенные недостатки: 1) результаты расчетов влияния факторов зависят от принятой последовательности замены базисных величин отдельных факторов на фактические; 2) дополнительный прирост обобщающего показателя, вызванный взаимодействием факторов, в виде неразложимого остатка присоединяется к сумме влияния последнего фактора. При использовании же интегрального метода этот прирост делится поровну между всеми факторами.
Интегральный метод устанавливает общий подход к решению моделей различных видов, причем независимо от числа элементов, которые входят в данную модель, а также независимо от формы связи между этими элементами.
Интегральный метод факторного экономического анализа имеет в своей основе суммирование приращений функции, определенной как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках.
В процессе применения интегрального метода необходимо соблюдение нескольких условий. Во-первых, должно соблюдаться условие непрерывной дифференцируемости функции, где в качестве аргумента берется какой-либо экономический показатель. Во-вторых, функция между начальной и конечной точками элементарного периода должна изменяться по прямой Г е . Наконец, в третьих, должно иметь место постоянство соотношения скоростей изменения величин факторов
d y / d x = const
При использовании интегрального метода исчисление определенного интеграла по заданной подынтегральной функции и заданному интервалу интегрирования осуществляется по имеющейся стандартной программе с применением современных средств вычислительной техники.
Если мы осуществляем решение мультипликативной модели, то для расчета влияния отдельных факторов на обобщающий экономический показатель можно использовать следующие формулы:
ΔZ(x) = y 0 * Δ x + 1/2 Δ x * Δ y
Z(y)= x 0 * Δ y +1/2 Δ x * Δ y
При решении кратной модели для расчета влияния факторов воспользуемся такими формулами:
Z=x /y ;
Δ Z(x) = Δ x /Δ y Ln y1/y0
Δ Z(y)= Δ Z - Δ Z(x)
Существует два основных типа задач, решаемых при помощи интегрального метода: статический и динамический. При первом типе отсутствует информация об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. Примерами таких задач могут служить анализ выполнения бизнес-планов либо анализ изменения экономических показателей по сравнению с предыдущим периодом. Динамический тип задач имеет место в условиях наличия информации об изменении анализируемых факторов в течение данного периода. К этому типу задач относятся вычисления, связанные с изучением временных рядов экономических показателей.
Таковы важнейшие черты интегрального метода факторного экономического анализа.
Метод логарифмирования
Кроме этого метода, в анализе находит применение также метод (способ) логарифмирования. Он используется при проведении факторного анализа, когда решаются мультипликативные модели. Сущность рассматриваемого метода заключается в том, что при его использовании имеет место логарифмически пропорциональное распределение величины совместного действия факторов между последними, то есть эта величина распределяется между факторами пропорционально доле влияния каждого отдельного фактора на сумму обобщающего показателя. При интегральном же методе упомянутая величина распределяется между факторами в одинаковой мере. Поэтому метод логарифмирования делает расчеты влияния факторов более обоснованными по сравнению с интегральным методом.
В процессе логарифмирования находят применение не абсолютные величины прироста экономических показателей, как это имеет место при интегральном методе, а относительные, то есть индексы изменения этих показателей. К примеру, обобщающий экономический показатель определяется в виде произведения трех факторов — сомножителей f = x y z .
Найдем влияние каждого из этих факторов на обобщающий экономический показатель. Так, влияние первого фактора может быть определено по следующей формуле:
Δf x = Δf · lg(x 1 / x 0) / lg(f 1 / f 0)
Каким же было влияние следующего фактора? Для нахождения его влияния воспользуемся следующей формулой:
Δf y = Δf · lg(y 1 / y 0) / lg(f 1 / f 0)
Наконец, для того, чтобы исчислить влияние третьего фактора, применим формулу:
Δf z = Δf · lg(z 1 / z 0)/ lg(f 1 / f 0)
Таким образом, общая сумма изменения обобщающего показателя расчленяется между отдельными факторами в соответствии с пропорциями отношений логарифмов отдельных факторных индексов к логарифму обобщающего показателя.
При применении рассматриваемого метода могут быть использованы любые виды логарифмов — как натуральные, так и десятичные.
Метод дифференциального исчисления
При проведении факторного анализа находит применение также метод дифференциального исчисления. Последний предполагает, что общее изменение функции, то есть обобщающего показателя, подразделяется на отдельные слагаемые, значение каждого из которых исчисляется как произведение определенной частной производной на приращение переменной, по которой определена эта производная. Определим влияние отдельных факторов на обобщающий показатель, используя в качестве примера функцию от двух переменных.
Задана функция Z = f(x,y) . Если эта функция является дифференцируемой, то ее изменение может быть выражено следующей формулой:
Поясним отдельные элементы этой формулы:
ΔZ = (Z 1 - Z 0) - величина изменения функции;
Δx = (x 1 - x 0) — величина изменения одного фактора;
Δ y = (y 1 - y 0) -величина изменения другого фактора;
- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем
В данном примере влияние отдельных факторов x и y на изменение функции Z (обобщающего показателя) исчисляется следующим образом:
ΔZ x = δZ / δx · Δx; ΔZ y = δZ / δy · Δy.
Сумма влияния обоих этих факторов — это главная, линейная относительно приращения данного фактора часть приращения дифференцируемой функции, то есть обобщающего показателя.
Способ долевого участия
В условиях решения аддитивных, а также кратно-аддитивных моделей для исчисления влияния отдельных факторов на изменение обобщающего показателя используется также способ долевого участия. Его сущность состоит в том, что вначале определяется доля каждого фактора в общей сумме их изменений. Затем эта доля умножается на общую величину изменения обобщающего показателя.
Предположим, что мы определяем влияние трех факторов — а ,b и с на обобщающий показатель y . Тогда для фактора, а определение его доли и умножение ее на общую величину изменения обобщающего показателя можно осуществить по следующей формуле:
Δy a = Δa/Δa + Δb + Δc*Δy
Для фактора в рассматриваемая формула будет иметь следующий вид:
Δy b =Δb/Δa + Δb +Δc*Δy
Наконец, для фактора с имеем:
Δy c =Δc/Δa +Δb +Δc*Δy
Такова сущность способа долевого участия, используемого для целей факторного анализа.
Метод линейного программирования
См.далее:Теория массового обслуживания
См.далее:Теория игр
Находит применение также теория игр. Так же, как и теория массового обслуживания, теория игр представляет собой один из разделов прикладной математики. Теория игр изучает оптимальные варианты решений, возможные в ситуациях игрового характера. Сюда относятся такие ситуации, которые связаны с выбором оптимальных управленческих решений, с выбором наиболее целесообразных вариантов взаимоотношений с другими организациями, и т.п.
Для решения подобных задач в теории игр используются алгебраические методы, которые базируются на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также методы сведения данной задачи к определенной системе дифференциальных уравнений.
Одним из экономико-математических методов, применяемых в анализе хозяйственной деятельности организаций, является так называемый анализ чувствительности. Данный метод зачастую применяется в процессе анализа инвестиционных проектов, а также в целях прогнозирования суммы прибыли, остающейся в распоряжении данной организации.
В целях оптимального планирования и прогнозирования деятельности организации необходимо заранее предусматривать те изменения, которые в будущем могут произойти с анализируемыми экономическими показателями.
Например, следует заранее прогнозировать изменение величин тех факторов, которые влияют на размер прибыли: уровень покупных цен на приобретаемые материальные ресурсы, уровень продажных цен на продукцию данной организации, изменение спроса покупателей на эту продукцию.
Анализ чувствительности состоит в определении будущего значения обобщающего экономического показателя при условии, что величина одного или нескольких факторов, оказывающих влияние на этот показатель, изменится.
Так, например, устанавливают, на какую величину изменится прибыль в перспективе при условии изменения количества продаваемой продукции на единицу. Этим самым мы анализируем чувствительность чистой прибыли к изменению одного из факторов, влияющих на нее, то есть в данном случае фактора объема продаж. Остальные же факторы, влияющие на величину прибыли, являются при этом неизменными. Можно определить величину прибыли также и при одновременном изменении в будущем влияния нескольких факторов. Таким образом анализ чувствительности дает возможность установить силу реагирования обобщающего экономического показателя на изменение отдельных факторов, оказывающих влияние на этот показатель.
Матричный метод
Наряду с вышеизложенными экономико-математическими методами в анализе хозяйственной деятельности находят применение также . Эти методы базируются на линейной и векторно-матричной алгебре.
Метод сетевого планирования
См.далее:Экстраполяционный анализ
Кроме рассмотренных методов, используется также экстраполяционный анализ. Он включает в себя рассмотрение изменений состояния анализируемой системы и экстраполяцию, то есть продление имеющихся характеристик этой системы на будущие периоды. В процессе осуществления этого вида анализа можно выделить такие основные этапы: первичная обработка и преобразование исходного ряда имеющихся данных; выбор типа эмпирических функций; определение основных параметров этих функций; экстраполяция; установление степени достоверности проведенного анализа.
В экономическом анализе используется также метод главных компонент. Они применяется в целях сравнительного анализа отдельных составных частей, то есть параметров проведенного анализа деятельности организации. Главные компоненты представляют собой важнейшие характеристики линейных комбинаций составных частей, то есть параметров проведенного анализа, которые имеют самые значительные величины дисперсии, а именно, наибольшие абсолютные отклонения от средних величин.
Характеристика основных экономико-математических методов АХД
Применение методов линейного программирования для решения конкретных аналитических задач.
Применение методов динамического программирования для решения конкретных аналитических задач.
1. Экономико-математические методы - это математические методы, применяемые для анализа экономических явлений и процессов. Использование математических методов в экономическом анализе позволяет повысить его эффективность за счет сокращения сроков проведения анализа, более полного охвата влияния факторов на результаты коммерческой деятельности, замены приближенных или упрощенных расчетов точными вычислениями, постановки и решения новых многомерных задач анализа, практически не выполнимых вручную или традиционными методами.
Применение математических методов в экономическом анализе требует соблюдения ряда условий, среди которых:
Системный подход к изучению экономики предприятий, учета всего множества существенных взаимосвязей между различными сторонами деятельности предприятий;
Разработка комплекса экономико-математических моделей, отражающих количественную характеристику экономических процессов и задач, решаемых с помощью экономического анализа;
Совершенствование системы экономической информации о работе предприятий;
Наличие технических средств (ЭВМ и др.), осуществляющих хранение, обработку и передачу экономической информации в целях экономического анализа;
Организация специального коллектива аналитиков, состоящего из экономистов-производственников, специалистов по экономико-математическому моделированию, математиков-вычислителей, программистов-операторов и др.
Современное состояние разработки принципов и конкретных форм использования математики и других точных наук для решения экономических задач отражает примерная схема основных математических методов, применяющихся в анализе хозяйственной деятельности предприятий.
Приведенная схема еще не является классификатором экономико-математических методов, поскольку она составлена безотносительно к какому-либо классификационному признаку. Она необходима для инвентаризации и характеристики основных математических методов, используемых в анализе хозяйственной деятельности предприятий. Рассмотрим ее
Экономико-математические методы в анализе
Методы элементарной математики
Эвристические методы
Методы исследования операций
Математическая теория оптимальных процессов
Методы экономической кибернетики
Классические методы математического анализа
Методы математической статистики
Эконометрические методы
Методы математического программирования
Экономико-математические методы анализа хозяйственной деятельности.
Методы элементарной математики используются в обычныхтрадиционных экономических расчетах при обосновании потребностейв ресурсах, учете затрат на производство, разработке планов, проектов,при балансовых расчетах и т. д. Выделение методов классической высшей математики на схемеобусловлено тем, что они применяются не только в рамках другихметодов, например, методов математической статистики иматематического программирования, но и отдельно. Так, факторныйанализ изменения многих экономических показателей может бытьосуществлен с помощью дифференцирования и интегрирования.
Методы математической статистики широко применяются в экономическом анализе. Они используются в тех случаях, когда изменение анализируемых показателей можно представить как случайным процесс. Статистические методы, являясь основным средством изучения массовых, повторяющихся явлений, играют важную роль в прогнозировании поведения экономических показателей. Когда связь между анализируемыми характеристиками не детерминированная, а стохастическая, то статистические и вероятностные методы - это практически единственный инструмент исследования. Наибольшее распространение из математико-статистических методов в экономическом анализе получили методы множественного и парного корреляционного анализа.
Для изучения одномерных статистических совокупностей используются: вариационный ряд, законы распределения, выборочный метод. Для изучения многомерных статистических совокупностей применяют корреляции, регрессии, дисперсионный, ковариационный, спектральный, компонентный, факторный виды анализа, изучаемые в курсах теории статистики.
Следующая группа экономико-математических методов - эконометрические методы. Эконометрия - научная дисциплина, изучающая количественные стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа на основе моделирования экономических процессов. Соответственно эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основой эконометрии является экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса с помощью научной абстракции, отражения их характерных черт. Из э ко неметрических методов наибольшее распространение в современной экономике получил метод анализа "затраты - выпуск". За его разработку выдающийся экономист В. Леонтьев в 1973 году получил Нобелевскую премию. Метод анализа "затраты-выпуск" - это эконометрический метод анализа, заключающийся в построении матричных (балансовых) моделей, по шахматной схеме и позволяющих в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат ирезультатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации - главные преимущества использования матричных моделей. Это важно при создании систем механизированной обработки данных, при планировании производства продукции с использованием ЭВМ.
Методы математического программирования в экономике - это многочисленные методы решения задач оптимизации производственно-хозяйственной и прежде всего плановой деятельности хозяйствующего субъекта. По своей сути эти методы - средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа выполнения бизнес-планов состоит в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности производственных ресурсов и т. п.
Под исследованием операций понимается метод целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор из них наилучшего. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Целью является такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных.
Как раздел исследования операций теория игр - это теория построения математических моделей для принятия оптимальных решений в условиях неопределенности или конфликта нескольких сторон, имеющих различные интересы.
Теория массового обслуживания - это теория, разрабатывающая математические методы количественной оценки процессов массового обслуживания на основе теории вероятности. Так, любое из структурных подразделений промышленного предприятия можно представить как объект системы обслуживания.
Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений. Количество требований на обслуживание и временные интервалы между их поступлением носят случайный характер, их нельзя предсказать с однозначной определенностью. Однако в своей совокупности множество таких требований подчиняется определенным статистическим закономерностям, количественное изучение которых и является предметом теории массового обслуживания.
Методы экономической кибернетики разрабатываются экономической кибернетикой - научной дисциплиной, анализирующей экономические явления и процессы в качестве очень сложных систем, с точки зрения законов и механизмов управления и движения информации в них. Из методов экономической кибернетики наибольшее распространение в экономическом анализе получили
31методы моделирования и системного анализа.
В последние годы в экономической науке усилился интерес к методам эмпирического поиска оптимальных условий протекания процесса, использующих человеческий опыт и интуицию. Это нашло отражение в применении эвристических методов (решений), которые представляют собой неформализованные методы решения экономических задач, связанных со сложившейся хозяйственной ситуацией, на основе интуиции, прошлого опыта, экспертных оценок специалистов и т. п.
Для анализа производственно-хозяйственной, коммерческой деятельности многие методы из приведенной примерной схемы не нашли практического применения и только разрабатываются в теории экономического анализа. В то же время в этой схеме не нашли отражения некоторые экономико-математические методы, рассматриваемые в специальной литературе по экономическому анализу: теория нечетких множеств, теория катастроф и др. В данном учебном пособии внимание сосредоточено на основных экономико-математических методах, получивших уже широкое применение в практике экономического анализа.
Применение того или иного математического метода в экономическом анализе опирается на методологию экономико-математического моделирования хозяйственных процессов и научно обоснованную классификацию методов и задач анализа.
По классификационному признаку оптимальности все экономико-математические методы (задачи) подразделяются на две группы: оптимизационные и неоптимизационные. Оптимизационные методы - группа экономико-математических методов анализа, позволяющих искать решение задачи по заданному критерию оптимальности. Неоптимизационные методы - группа экономико-математических методов анализа, использующихся для решения задач без критерия оптимальности.
По признаку получения точного решения все экономико-математические методы делятся на точные и приближенные. К точным методам относят группу экономико-математических методов, алгоритм которых позволяет получить только одно решение по заданному критерию оптимальности или без него. К приближенным методам относят группу экономико-математических методов, применяемых в случае, когда при поиске решения используется стохастическая информация и решение задачи можно получить с любой степенью точности, а также такие, при применении которых не гарантируется получение единственного решения по заданному критерию оптимальности или без него.
Таким образом, на основе использования только двух признаков классификации, все экономико-математические методы делятся на четыре группы:
1) оптимизационные точные методы;
2} оптимизационные приближенные методы;
3) неоптимизационные точные методы;
4) неоптимизационные приближенные методы.
Так, к оптимизационным точным методам можно отнести методы теории оптимальных процессов, некоторые методы математического программирования и методы исследования операций. К оптимизационным приближенным методам относятся: отдельные методы математического программирования; методы исследования операций, методы экономической кибернетики; методы математической теории планирования экстремальных экспериментов; эвристические методы. К неоптимизационным точным методам относятся: методы элементарной математики и классические методы математического анализа, эконометрические методы. К неоптимизационным приближенным методам относятся: метод статистических испытаний и другие методы математической статистики.
Из представленных нами укрупненных групп экономико-математических методов, некоторые методы из этих групп используются для решения различных задач - как оптимизационных, так и неоптимизационных; как точных, так и приближенных.
2 . Методы линейного программирования. Все экономические задачи, решаемые с применением методов линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из значительного количества всех допустимых вариантов лучший, оптимальный. В этом состоит важность и ценность использования в экономике методов линейного программирования. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.
Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны: математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.
С помощью методов линейного программирования в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок}. В сельском хозяйстве они используются для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этими же методами решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.
3. Методы динамического программирования. Методы динамического программирования применяются при решении оптимизационных задач, в которых целевая функция и/или ограничения, характеризуются нелинейными зависимостями.
Признаками нелинейности является, в частности, наличие переменны/, у которых показатель степени отличается от единицы, а также наличие переменной в показателе степени, под корнем, под знаком логарифма.
В экономике вообще и в экономике предприятия, в частности, примеров нелинейных зависимостей достаточно много. Так, экономическая эффективность производства возрастает или убывает непропорционально изменению масштабов производства; величина затрат на производство партии деталей возрастает вместе с увеличением размеров партии, но не пропорционально им. Нелинейной связью характеризуется изменение величины износа производственного оборудования в зависимости от времени его работы, удельный расход бензина (на 1 км пути) - от скорости движения автотранспорта и многие другие хозяйственные ситуации.
